8.4. РАСШИРЕННЫЕ КОДЫ РИДА-СОЛОМОНА

К коду Рида-Соломона в общем случае можно добавить две дополнительные компоненты; мы будем всегда помещать одну из них в начале, а другую в конце кодового слова. Коды, получаемые путем добавления одной или обеих дополнительных компонент, называются расширенными кодами Рида-Соломона. Каждый из добавленных символов может использоваться и как информационный, и как проверочный, т. е. либо для увеличеиия скорости передачи, либо для увеличения минимального расстояния кода. Мы используем этот менее конкретный термин — расширенные коды Рида-Соломона, хотя эти же коды можно построить увеличением числа слов в кодах Рида-Соломона с минимальным расстоянием или удлинением кодов Рида-Соломона с минимальным расстоянием любом случае получится один и тот же расширенный код Рида-Соломона.

Надо определить два новых локатора и соответственно ввести некоторые новые обозначения. Если исходные компоненты нумеруются элементами поля, то для одной новой компоненты можно использовать нулевой элемент поля, так что остается определить еще один дополнительный символ для другой. Обычно используется символ Если исходные компоненты нумеруются показателями степени примитивного элемента, то для обозначения нового локатора нельзя использовать нуль и необходимо ввести два новых символа. В качестве этих двух символов мы будем пользоваться знаками — и +. Таким образом, слово расширенного кода записывается в виде

Вектор, получающийся исключением символов будем называть внутренним. Мы будем изучать расширенные коды с помощью свойств преобразований Фурье внутренних векторов, дополняя их свойствами расширенного векторного пространства. Когда мы будем говорить о спектре кодового слова, то будем иметь в виду спектр внутреннего вектора.

Сначала дадим определение расширенного циклического кода, а затем — в качестве частного случая — определение расширенного кода Рида-Соломона.

Определение Расширенным циклическим -кодом над называется линейный код длины каждое

слово которого удовлетворяет следующим условиям: спектр кодового слова содержит нули в заданном множестве позиций с индексами а две оставшиеся спектральные компоненты удовлетворяют равенствам

Расширенный циклический код в общем случае не является циклическим

Определение 8.4.2. Расширенным кодом Рида-Соломона называется линейный код длины над спектр кодовых слов которого при любых целых удовлетворяет следующим условиям:

Число называется конструктивным расстоянием расширенного кода Рида-Соломона. Определение содержит ограничения, состоящие в том, что соответствующих спектральных компонент должны равняться нулю, а компоненты, окаймляющие эти компонент, должны равняться соответственно. Эти две специальные частоты называются граничными частотами.

По сравнению с кодом Рида-Соломона, который получается удвлеиием и приравниванием нулю сиектрвльных компонент расширенный код Рида-Соломона всегда содержит два дополнительных информационных символа при неизменном минимальном расстоянии. Впоследствии мы выясним, что это означает в частотной области, а сначала приведем основанное на свойствах матрицы Вандермопда доказательство этого факта.

Теорема 8.4.3. Расширенный код Рида-Соломона над является -кодом с минимальным расстоянием

Доказательство. Сначала предположим для простоты, что Проверочная матрица кода равна

Если любые столбцов этой проверочной матрицы линейно независимы, то минимальное расстояние кода равно по меньшей мере После исключения первого и последнего столбцов любое множество из столбцов образует матрицу Вандермонда, которая невырождена, и, следовательно, любые внутренних столбцов линейно независимы. В случае же когда выбранное множество из столбцов содержит первый и последний столбцы, соответствующий определитель можно вычислить, разлагая его но элементам сначала первого, а потом последнего столбцов. Это приведет к выбрасыванию сначала первой, а потом последней строки, и оставшаяся часть снова приводит к матрице Вандермонда, определитель которой отличен от нуля. Следовательно, любые столбцов линейно независимы, и поэтому минимальное расстояние кода равно по меньшей мере

Далее, если то изменения в проверочной матрице при неизменных первом и последнем столбцах состоят в том, что все ее элементы умножаются на Это, однако, никак не влияет на проведенные выше рассуждения.

На рис. 8.6 изображен кодер в частотной области для расширенного кода Рида Соломона. Мы сможем лучше понять эти коды, если будем представлять их кодер как модификацию кодера в частотной области для обычного кода Рида-Соломона с минимальным расстоянием Последний кодер определяется блоком

Рис. 8.6. Кодер для расширенного кода Рида-Соломона в частотной области.

из последовательных частот, в которых стоят нулевые компоненты спектра. Остальные компоненты спектра принимают произвольные значения информационных символов из

Для расширения этого кода за счет увеличения числа информационных символов используются две граничные частоты спектра в блоке проверочных частот спектра, которым придаются произвольные значения двух информационных символов, причем во временной области кодовое слово тоже дополняется этими двумя символами. В результате получается расширенный код Рида — Соломона с тем же минимальным расстоянием но с двумя дополнительными информационными символами.

Если же мы хотим расширить исходный код так, чтобы увеличить его минимальное расстояние, то два дополнительных символа, присоединяемых к блоку проверочных частот, объявляются новыми проверочными частотами. Значения компонент этих частот не меняются, но во временной области те же два символа дописываются к кодовому слову. Это приводит к коду с таким же числом информационных символов, как и у исходного кода, но с минимальным расстоянием Конечно, мы получим тот же самый расширенный код, если будем исходить из кода Рида—Соломона с минимальным расстоянием и увеличивать в нем число информационных символов.

Кодер расширенного -кода Рида-Соломона во временной области показан на рис. 8.7. В этом случае расширение рассматривается как удлинение -кода Рида-Соломона с минимальным расстоянием до кода с расстоянием Для кодирования информационных символов внутреннего вектора кодового слова используется порождающий многочлен с корнями

Рис. 8.7. Систематический кодер для расширелного кода Рида-Соломона.

Граничные символы определяются при этом соответственно равенствами

и присоединяются к внутреннему вектору для формирования кодового слова.