2.2. ГРУППЫ

Группа — это собирательное название некоторых алгебраических структур. Хотя существуют многие конкретные примеры интересных групп, в математике введено абстрактное понятие группы, так как легче одновременно исследовать все

математические системы с общей структурой, чем исследовать каждую из них по отдельности.

Определение 2.2.1. Группой называется множество элементов с определенной для каждой пары элементов операцией (обозначаемой обладающее следующими четырьмя свойствами:

1) замкнутость: для каждой пары из множества элемент с принадлежит множеству;

2) ассоциативность: для всех и с из множества

3) существование единицы: в множестве существует элемент называемый единичным элементом и такой, что

для любого элемента а множества;

4) существование обратных элементов: для любого а из множества существует некоторый элемент из множества, называемый обратным элементу а и такой, что

Если группа С содержит конечное число элементов, то она называется конечной группой, а число элементов в называется порядком

Некоторые группы обладают тем дополнительным свойством, что для любых из группы

Это свойство называется коммутативностью. Группы, обладающие этим дополнительным свойством, называются коммутативными или абелевыми группами. За исключением некоторого материала этого параграфа, мы всегда будем иметь дело с абелевыми группами.

В случае абелевых групп групповая операция обозначается символом и называется сложением (даже тогда, когда она не является обычным арифметическим сложением). В этом случае единичный элемент называется нулем и обозначается 0, а обратный элементу а элемент записывается в виде , так что

Иногда групповая операция обозначается символом и называется умножением (даже тогда, когда она не является обычным арифметическим умножением). В этом случае единичный элемент называется единицей и обозначается I, а обратный элементу а элемент записывается в виде так что

Теорема 2.2.2. Единичный элемент в каждой группе является единственным. Для каждого элемента группы обратный элемент также является единственным, и

Доказательство. Предположим, что единичные элементы группы; тогда Далее, предположим, что элементы, обратные элементу с; тогда

Наконец, так что а — обратный элементу . Но в силу единственности обратного элемента Имеется бесконечно много примеров групп. Многие группы содержат бесконечное число элементов. Примерами являются целые числа относительно сложения, положительные рациональные числа относительно умножения 1), множество вещественнозначных -матриц относительно сложения. Многие другие группы содержат только конечное число элементов. Примерами являются двухэлементное множество относительно операции «исключительного или» (сложения по модулю 2), множество относительно сложения по модулю 10 и т. д.

В качестве более сложного примера построим конечную неабелеву группу, т. е. менее известную структуру. Одним из способов построения групп с интересной алгебраической структурой является исследование преобразований простых геометрических фигур и алгебраическая интерпретация этих преобразований. Например, равносторонний треугольник с вершинами (занумерованными по часовой стрелке) можно вращением или отражением относительно оси отобразить на себя точно шестью различными способами, причем каждое из этих вращений и отражений имеет обратное преобразование. Используя некоторые очевидные факты, можно быстро построить алгебраическую группу. Обозначим эти шесть преобразований символами следующим образом:

где преобразование означает, что вершина А переходит в вершину В, вершина В переходит в вершину С, а вершина С переходит в вершину А. Таким образом, треугольник поворачивается на 120°. Пусть группа определяется множеством

является элементом группы, обозначающим преобразование, которое получается последовательным выполнением сначала преобразования х, а затем преобразования у; например,

Поступая таким образом, можно построить таблицу для

Поскольку таблица построена, можно забыть о ее геометрическом происхождении. Таблица сама определяет группу. Подчеркнем, что это пример неабелевой группы, так как с а. Заметим также, что каждый элемент появляется один раз в каждом столбце и в каждой строке. Для конечных групп это выполняется всегда

Нашим последним примером группы является группа перестановок букв. Пусть X представляет собой множество Взаимно-однозначное отображение этого множества на самого себя называется перестановкой. Всего имеется таких перестановок, и можно определить группу, называемую симметрической группой и обозначаемую через элементами которой являются перестановки на множестве (Сначала может несколько смущать то обстоятельство, что элементами группы являются операторы — операторы перестановок на множестве На самом деле в примере преобразований равностороннего треугольника речь также идет о группе перестановок.) Если взять перестановку на выбранных целых числах и переставить их еще раз, то получится другая перестановка на этих целых числах. Выберем в качестве групповой операции такую композицию

перестановок и возьмем, например, Всего имеется перестановок в группе Типичный элемент группы равен

и является перестановкой, заменяющей 1 на 3, 2 на 1, 3 на 4 и 4 на 2. Другой такой перестановкой является

Тогда произведение в группе равно перестановке, получающейся в результате применения сначала о, а затем Ь:

что является элементом группы . С таким определением умножения группа перестановок является неабелевой группой, содержащей 24 элемента.

Пусть группа, и пусть — некоторое подмножество в Тогда Я называется подгруппой группы если оно является группой относительно ограничения операции на Я. Для того чтобы проверить, что непустое множество Я является подгруппой группы необходимо только проверить, что для всех из элемент принадлежит Н (замкнутость) и что элемент, обратный к а из Н, также принадлежит Н. Остальные групповые свойства наследуются из группы Как вскоре мы увидим при рассмотрении циклических подгрупп, в случае конечных групп из свойства замкнутости автоматически вытекает даже свойство существования обратного элемента.

Например, множество всех четных чисел и множество чисел, кратных 3, являются подгруппами в множестве всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) относительно операции сложения.

Один из путей построения подгруппы Я конечной группы состоит в выборе произвольного элемента А группы Я и формировании Я как множества элементов, образованных умножением А на самого себя произвольное число раз. Таким образом, строим последовательность элементов

обозначая их для простоты через Так как конечна, то только конечное число этих элементов различно, так что с некоторого момента последовательность начнет повторяться. Первым повторяющимся элементом должен быть сам элемент А, так как если два различных элемента равны, то их можно умножить на элемент, обратпый А, и получить, что также равны. Далее заметим, что если то единичному элементу группы. Множество Я называется подгруппой, порожденной элементом А. Число с элементов в Н называется

порядком элемента Множество элементов называется циклом. Цикл является подгруппой, так как произведение двух элементов такого вида снова яаляется элементом этого вида, а элемент, обратный элементу равен следовательно, является одним из элементов цикла. Группа, состоящая из всех степеней одного из ее элементов, называется циклической группой.

Для заданных конечной группы и подгруппы существует важная операция, которая устанавливает некоторые взаимосвязи между называется разложением группы на смежные классы по II. Обозначим через элементы из причем через обозначим единичный элемент. Построим таблицу следующим образом. Первая строка состоит из элементов подгруппы Н, причем первым слева выписан единичный элемент и каждый элемент из записан в строке один и только один раз. Выберем произвольный элемент группы не содержащийся в первой строке. Назовем его и используем в качестве первого элемента второй строки. Остальные элементы второй строки получаются умножением слева элементов подгруппы на этот первый элемент. Аналогично строим третью, четвертую и пятую строки: каждый раз в качестве элемента первого столбца выбираем не использованный на предыдущих шагах элемент группы Построение заканчивается тогда, когда после некоторого шага оказывается, что каждый элемент группы записан в некотором месте таблицы. Процесс обрывается в силу конечности С. В результате получается следующая таблица:

Первый элемент слева в каждой строке называется лидером смежного класса. Каждая строка таблицы называется левым смежным классом, а в случае абслевой группы — просто смежным классом. Если при построении разложения группы на смежные классы использовать правое умножение на элементы группы вместо левого, то строки называются правыми смежными классами. В силу указанных выше правил построения разложение на смежные классы всегда представляется прямоугольной таблицей, все строки которой полностью заполнены. Докажем теперь, что всегда получается таблица, в которой каждый элемент группы встречается точно один раз.

Теорема 2.2.3. В разложении группы на смежные классы каждый элемент из встречается один и только один раз.

Доказательство. Каждый элемент появится хотя бы один раз, так как в противном случае процесс не остановится. Докажем теперь, что каждый элемент не может появиться дважды в одной и той же строке и что один и тот же элемент не может появиться в двух разных строках.

Предположим, что два элемента одной и той же строки, и равны. Тогда умножение [слева. - Перев.] каждого из них на дает равенство Это противоречит тому, что каждый элемент подгруппы выписан в первой строке только один раз.

Предположим, что два элемента различных строк и равны и что Умножение справа на приводит к равенству Тогда порождает смежный класс, так как элемент принадлежит подгруппе. Это противоречит указанному выше правилу выбора лидеров смежных классов.

Следствие 2.2.4. Если — подгруппа группы то число элементов в делит число элементов в Таким образом,

Доказательство следует непосредственно из прямоугольности таблицы разложения на смежные классы.

Теорема 2.2.5. Порядок конечной группы делится на порядок любого из ее элементов.

Доказательство. Группа содержит циклическую подгруппу, порожденную любым из ее элементов; таким образом, утверждение теоремы вытекает из следствия 2.2.4.