2.4. ПОЛЯ

Нестрого говоря, абелевой группой является множество, в котором можно складывать и вычитать, а кольцом — множество, в котором можно складывать, вычитать и умножать. Более

пой алгебраической структурой, называемой полем, является множество, в котором можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Определение 2.4.1. Полем называется множество с двумя определенными на нем операциями — сложением и умножением, причем имеют место следующие аксиомы:

1) множество образует абелеву группу по сложению;

2) поле замкнуто относительно умножения, и множество ненулевых элементов образует абелеву группу по умножению;

3) закон дистрибутивности:

Единичный элемент относительно сложения принято обозначать через 0 и называть нулем, аддитивный обратный элементу а элемент — через —а; единичный элемент относительно умножения обозначать через I и называть единицей, мультипликативный обратный к элементу а элемент — через Под вычитанием понимается под делением понимается

Широко известны следующие примеры полей:

1) R: множество вещественных чисел,

2) С: множество комплексных чисел,

3) Q: множество рациональных чисел.

Все эти поля содержат бесконечное множество элементов. Мы интересуемся полями, содержащими конечное число элементов. Поле с элементами, если оно существует, называется конечным полем или полем Галуа и обозначается через

Что представляет собой наименьшее поле? Оно обязательно содержит нулевой элемент и единичный элемент. На самом деле этого уже достаточно при следующих таблицах сложения и умножения:

Это поле с которым мы уже встречались в § 2.1. Проверка показывает, что не существует другого поля с двумя элементами.

В гл. 4 копечные поля будут изучены более детально. Сейчас мы приведем два простых примера и опишем их таблицами сложения и умножения (вычитание и деление неявно определяются этими же таблицами).

Поле с операциями

Поле с операциями

Отметим, что умножение в поле не является умножением по модулю 4 и сложение не является сложением по модулю 4.

Существуют многие другие поля Галуа. Даже для этих примеров очень маленьких полей не так легко с помощью простой проверки установить, что они обладают указанной структурой. Структура этих и больших полей будет разъясняться в гл. 4.

Прежде чем расстаться с этими примерами, заметим, что поле содержится в так как в поле два элемента 0 и I складываются и умножаются точно так же, как они складываются и умножаются в поле GF (2). Однако не содержится в

Определение 2.4.2. Пусть некоторое поле. Подмножество в называется подполен, если оно само является полем относительно наследуемых из операций сложения и умножения. В этом случае исходное поле называется расширением поля.

Для того чтобы доказать, что подмножество конечного поля является подполем, необходимо доказать только, что оно содержит ненулевой элемент и что оно замкнуто относительно сложения и умножения. Все остальные необходимые свойства наследуются из Обратные элементу по сложению или умножению элементы содержатся в порожденной циклической группе относительно операции сложения или умножения.

Поле обладает всеми свойствами кольца, а также важным дополнительным свойством — в нем всегда возможно сокращение.

Сокращение представляет собой слабую форму деления и означает, что если то

Теорема 2.4.3. Если в произвольном поле то с.

Доказательство. Умножать на

Некоторые кольца могут также удовлетворять этому условию сокращения, но все-таки не быть полями. Простым примером служит кольцо целых чисел. В этом кольце сокращение возможно, но приведенное для теоремы 2.4.3 доказательство не проходит, так как в этом кольце не существует элемента Кольца, в которых всегда возможно сокращение, имеют специальное название.

Определение 2.4.4. Коммутативное кольцо, в котором если и элемент а отличен от нуля, называется областью целостности.