Главная > Теория и практика кодов, контролирующих ошибки
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13.3. АФФИННЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ДЛЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ    

Циклический сдвиг любого кодового слова в циклическом коде дает другое кодовое слово. Следовательно, весь код инвариантен относительно циклического сдвига. Циклический сдвиг является простым примером перестановки. Циклический код может быть инвариантен и относительно других перестановок. В этом параграфе мы покажем, что многие циклические коды, будучи расширенными, становятся инвариантными относительно большой группы перестановок, называемых аффинными. Аффинные перестановки могут использоваться для построения кодов, для их исследования или для построения декодеров, в частности мажоритарных.

Пусть — циклический код длины порождаемый многочленом и пусть код длины получаемый из добавлением к каждому кодовому слову символа проверки на четность. Иначе говоря, если кодовое слово в то кодовое слово в здесь — символ проверки на четность, определяемый как

Чтобы перенумеровать компоненты кодового слова, будем использовать как множество локаторов. Ненулевые элементы суть а, где а — примитивный элемент. Нулевой

элемент 0 в будем обозначать как Перенумеруем следующим образом компоненты вектора с») из элементами компонента нумеруется локатором а компоненты при локаторами а.

Группа перестановок называется транзитивной, если для любой пары локаторов в кодовом слове существует перестановка в группе, меняющая их местами; при этом возможно также изменение порядка других локаторов. Группа перестановок называется дважды транзитивной, если для любых двух пар локаторов где существует такая перестановка в группе, которая меняет местами локаторы как в первой, так и во второй паре. При этом также возможно изменение порядка других локаторов.

Аффинная перестановка — это перестановка, которая переводит компоненту с локатором X в компоненту с локатором где любые фиксированные элементы из и Множество всех аффинных перестановок образует группу относительно композиции, так как: 1) если локатор X переходит в локатор и локатор У переходит в локатор то X переходит в и 2) перестановка обратна перестановке Группа аффинных перестановок дважды транзитивна, так как при заданных парах система уравнений

решается относительно единственным образом.

Теорема 13.3.1. Любой код длины инвариантный относительно группы аффинных перестановок, можно преобразовать в циклический код, отбросив позицию с локатором

Доказательство. Пусть а — примитивный элемент, используемый для задания локаторов. Перестановка аффинна. Но она представляет собой циклический сдвиг всех локаторов, кроме Следовательно, код является циклическим.

Несколько труднее сформулировать обратные условия, т. е. условия, при которых можно расширить циклический код и получить код, инвариантный относительно группы аффинных перестановок. Такие циклические коды, о которых пойдет речь в теореме 13.3.4, называются циклическими кодами, обладающими свойством дважды транзитивной инвариантности. Этой теореме будет предшествовать небольшое общематематическое отступление.

Определение 13.3.2. Пусть целое число в -ичном разложении:

Отличное от целое число к в -ичном разложении:

называется -ичным потомком числа если

Выяснить, является ли данное целое -ичным потомком целого может оказаться затруднительным. В случае когда равно простому числу для нахождения простого эквивалентного условия, записанного через сочетания будет использоваться приведенная ниже теорема (напомним, что при принято считать

Теорема 13.3.3 (теорема Лукаса). Пусть простое число, и пусть

и

— p-ичные разложения двух произвольных целых чисел Тогда справедливо следующее соотношение:

Кроме того, равно нулю по модулю тогда и только тогда, когда не является -ичным потомком числа

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как при всех не равпо нулю по модулю тогда и только тогда, когда является -ичным потомком Необходимо доказать лишь первое утверждение теоремы.

Доказательство состоит в разложении многочлена двумя различными способами и последующем приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х. Используя теорему 4.6.10, можно записать следующее тождество над

Тогда для произвольного имеем

Используя биномиальное разложение обеих частей этого равенства, перепишем его в следующем виде:

где каждое не больше и поэтому меньше Далее приравняем коэффициенты при х и получим

где суммирование ведется по всем -совокупностям в которых каждая компонента меньше

Выражение в правой части этого равенства представляет собой -ичное разложение к, являющееся единственным. Поэтому сумма сосгоит лишь из одного члена и вырождается в равенство

Это завершает доказательство теоремы.

Теперь мы можем охарактеризовать те циклические коды, которые инвариантны относительно группы аффинных перестановок. В формулировку приведенной ниже теоремы входят условия, которым должны удовлетворять корни порождающего многочлена. Порождающие многочлены с корнем из рассмотрения исключаются, так как в противном случае выражения становятся неопределенными.

Те рема 13.3.4. Пусть а — примитивный элемент поля характеристики пусть циклический код длины порождаемый, многочленом у которого не является корнем, и пусть расширенный код, получаемый из него добавлением символа проверки на четность. Расширенный код инвариантен относительно группы аффинных перестановок тогда и только тогда, когда из того, что корень , а — ненулевой -ичный потомок , следует, что а также является корнем

Доказательство. Пусть означает аффинную перестановку. Пусть — локаторы ненулевых компонент кодового слова с, и пусть значения этих компонент обозначены через Пусть, далее,

означают локаторы ненулевых компонент кодового слова при аффинной перестановке,

Вначале предположим, что если корень то при любом к, являющемся ненулевым -ичным потомком будет корнем Необходимо доказать, что перестановка кодового слова порождает другое кодовое слово.

Кодовый многочлен удовлетворяет соотношению а добавленный символ равен сто Пусть Тогда

при всех для которых а является корнем Заметим, что в локаторе может быть ненулевой символ. Но есть представление нулевого элемента; поэтому соответствующий является нулем. Даже в тех случаях, когда слагаемое при равном нулю входит в определение можно считать его входящим, так как оно равно нулю.

Переставленное слово с является кодовым, если выполняется соотношение остающееся, очевидно, справедливым и после перестановки, и если, кроме того,

при всех для которых является корнем Рассмотрим такое

По теореме равно нулю по модулю если не является -ичным потомком для тех же , которые являются -ичными потомками по предположению С равно нулю. Следовательно, в каждом слагаемом суммы или равно нулю, или равно нулю. Поэтому равно нулю и переставленное кодовое слово снова является кодовым словом.

Теперь докажем обратное. Предположим, что расширенный код инвариантен относительно группы аффинных перестановок. Тогда каждое кодовое слово удовлетворяет равенству

для всех и всех для которых является корнем Как и ранее, имеем

Пусть — число ичных потомков перенумеруем их числами при Запишем сумму по ним в виде

Пусть теперь произвольны. Полагая равным 1, а а поочередно равным первым К последовательным степеням а, получаем

Эта матрица — матрица Вандермопда. Она обратима, так как все ее столбцы различны. Поэтому при Следовательно, корень всех являющихся потомками j в -ичном представлении. Это завершает доказательство теоремы.

1
Оглавление
email@scask.ru