1.13. Скобочные формы функций

Для представления переключательных функций можно использовать не только нормальные формы. Некоторые тождественные преобразования МНФ могут привести к уменьшению числа первичных термов в аналитическом представлении функции, а значит и к уменьшению стоимости ее реализации на ЛЭ. Так, преобразование МДНФ с помощью первого

дистрибутивного закона (1.9) приводит к скобочным формам представления функций и сокращению числа первичных термов.

Порядок функций и комбинационных схем. Максимальное число последовательно выполняемых логических операций для реализации функции называется порядком переключательной функции. Функции, представленные в любой нормальной форме, имеют порядок не выше второго. Порядком КС называется максимальное число последовательно включенных ЛЭ. Порядки КС и соответствующих им функций совпадают. Например, КС, представленные на рис. 1.8, реализованы в соответствии с МДНФ и ДНФ, которые имеют второй порядок, и максимальное число последовательно включенных ЛЭ равно двум.

При вынесении в ДНФ общих членов за скобки порядок функции увеличивается. На рис. 1.11 представлена диаграмма Вейча функции , МДНФ которой

Этой функции соответствует КС второго порядка, показанная на рис. 1.12,а. Иначе эта КС называется двухъярусной. На основании дистрибутивных законов (1.9) функцию (1.87) можно представить в форме

которой соответствует схема на рис. 1.12,6. В этой КС максимальное число последовательно включенных ЛЭ равно четырем, т. е. КС имеет четвертый порядок (четырехъярусная КС).

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Каждый ЛЭ имеет конечное быстродействие, которое можно характеризовать задержкой распространения сигналов от входов к выходу. Чем выше порядок КС, тем меньше ее быстродействие. Скобочные формы представления функций типа (1.88) используются для уменьшения стоимости КС. Так, суммарное

число входов ЛЭ на рис. 1.12, а равно 12, а на рис. 1.12,б - 10. В общем случае стоимость КС и ее быстродействие жестко связаны. Реализация КС с большим числом входов на основании функций, представленных в ДНФ (МДНФ), практически неприемлема из-за громадного числа требующихся ЛЭ. На практике очень часто используются КС, имеющие порядок выше 10. В таких КС уменьшение быстродействия оправдывается существенным снижением стоимости их реализации.

Синтез комбинационных схем на мажоритарных элементах. Мажоритарными элементами (МЭ) называются ЛЭ, имеющие нечетное число логически равноправных входов и выполняющие функцию

где пороговый уровень (сумма входных сигналов арифметическая).

Трехвходовой МЭ выполняет функцию Действительно, только при равенстве единице двух или трех сигналов из Если то а при функция

Рассмотрим функцию переменных где множество переменных без По теореме разложения Шеннона

где

Из полученных соотношений следует схема, показанная на рис. 1.13, которая реализована на трехвходовых МЭ.

Продолжив разложение по остальным переменным, на последнем этапе получим значения и 1. Соответствующая КС будет состоять из ярусов, содержащих трехвходовых МЭ. На рис. 1.14 показана КС, реализующая любую функцию пяти переменных.

Пятивходовой МЭ описывается табл. 1.6. На рис. 1.14 указаны значения входных сигналов, соответствующие значениям а табл. 1.6. Трехвходовые МЭ, помеченные символом не нужны, так как их выходные сигналы равны либо Мажоритарные элементы имеющие одинаковый номер выполняют одинаковые функции, так как их входные сигналы совпадают.

На рис. 1.15 показана схема пятивходового МЭ, полученная исключением лишних трехвходовых МЭ из схемы рис. 1.14. Данная схема, как и исходная, является сильно избыточной (этого следовало ожидать, так как любой МЭ описывается функцией, в которую не входят инверсные сигналы Анализ схемы на рис. 1.15 показал,

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Рис. 1.17 (см. скан)

что достаточно использовать трехвходовые (рис. 1.16):

Минимальная ДНФ n-входового МЭ содержит в первом ярусе -входовых ЛЭ И, где Так, при требуется трехвходовых ЛЭ И. Комбинационная схема на рис. 1.16 имеет порядок, так как трехвходовой МЭ описывается функцией второго порядка. На рис. 1.17 показаны МЭ с числом входов 5 (выход (выход и 9 (выход синтезированные по вышеизложенной методике. Комбинационная схема для выхода имеет порядок Основная сложность синтеза КС на МЭ заключается в минимизации стандартной структуры, показанной на рис. 1.14. Изложенный метод синтеза автоматически приводит к скобочным формам результирующих функций.