Глава 2. Анализ и синтез логических схем

2.1. Потенциальные и импульсные сигналы

Сигнал называется потенциальным, если интервал времени между соседними изменениями сигнала значительно больше времени реакции схемы в которой он используется, т.е. сигнал (рис. 2.1) потенциальный, если Сигнал называется импульсным, если длительность его активного уровня того же порядка, что и время реакции схемы (схема должна отреагировать на воздействие импульсного сигнала, а он должен закончиться сразу же после окончания в схеме переходного процесса).

Рис. 2.1

При аналитическом описании схем, на которые воздействуют импульсные сигналы, используется понятие абстрактного импульсного сигнала, длительность которого бесконечно мала. Реальные импульсные сигналы всегда имеют конечную длительность, которая определяется временем реакции схемы. В зависимости от быстродействия ЛЭ, из которых построена схема, время реакции может изменяться в широких пределах. Понятие абстрактного импульсного сигнала позволяет абстрагироваться от физических параметров конкретных схем. Импульсные сигналы порождаются изменениями потенциальных сигналов с 1 на 0 и (или) с 0 на 1.

Для описания изменений потенциальных сигналов и порождаемых ими импульсных сигналов удобно использовать

математический аппарат, основанный на операторах переходов [10]. Импульсные сигналы с высоким активным уровнем, порождаемые изменениями потенциального сигнала х с 1 на 0 и с 0 на 1, показаны на рис. 2.1.

Оператор переходов определяется соотношением

где импульсный сигнал, порождаемый изменениями потенциального сигнала с 1 на 0; значение потенциального сигнала в данный момент времени; значение потенциального сигнала в предыдущий момент времени.

Очевидно, что только при изменении потенциального сигнала с 1 на 0. Считается, что абстрактный потенциальный сигнал имеет бесконечно крутые фронты, а для абстрактного импульсного сигнала в соотношении Введя обозначения сигналов получим:

Соотношение (2.2) учитывает время в явном виде и может использоваться не только для потенциальных сигналов, но и для переключательных функций от потенциальных сигналов:

где значение функции в данный момент времени, — значение функции в предыдущий момент времени. Из соотношения (2.3) следует, что импульсные сигналы, порождаемые переключательными функциями от потенциальных сигналов, весьма просто могут быть получены с помощью основных операций алгебры логики. Так, если то

где только при изменении потенциального сигнала на 1.

Имеет место тождество которое отражает тот факт, что потенциальный сигнал не может одновременно изменяться с 1 на 0 и с 0 на 1 (доказательство: -хх-х Следует всегда иметь в виду, что с точки зрения алгебры логики сигналы являются разными переменными, но поскольку их значения совпадают со значениями одного и того же сигнала, взятыми в различные моменты времени, то операторные соотношения учитывают время в явном виде.

Оператор переходов V определяется соотношением

где при изменении потенциального сигнала х как с 1 на 0, так и с 0 на 1.

Легко доказать следующие основные операторные тождества:

Докажем, например, первое тождество:

Тождества (2.6) поясняются временными диаграммами, изображенными на рис. 2.2.

Рис. 2.2

Оператор переходов от мультиплексной функции дает

В § 1.4 было показано, что для обычных тождеств алгебры логики справедлив принцип двойственности, устанавливающий правило, На основании которого для любого тождества можно получить двойственное ему тождество. В [22] доказана теорема, утверждающая, что и для операторных тождеств справедлив некоторый принцип, позволяющий разбить их на пары:

если справедливо операторное тождество

то имеет место также операторное тождество

где некоторые переключательные функции переменных. Такие тождества будем называть сопряженными. Функции и входящие во второе операторное тождество, получаются из функций входящих в первое операторное тождество, заменой на V, а и на V, т. е. заменой переменных на на х, а переменных х на на Функции же входящие во второе тождество, получаются из функций входящих в первое тождество, взаимной заменой операций дизъюнкции и конъюнкции Такое преобразование тождеств допустимо в силу того, что взаимная замена V на эквивалентна изменению направления отсчета времени.

Используя определение оператора перехода (2.3), не представляет труда доказать следующие операторные тождества:

Все тождества, за исключением последнего, записаны парами и могут быть получены одно из другого на основании приведенной теоремы. Последнее тождество является самосопряженным, так как оно по теореме не изменяется. Рассмотренные тождества наиболее часто используются для упрощения выражений, содержащих операторы переходов.

Для преобразования операторных выражений могут быть полезны следующие тождества:

При проектировании логических схем можно использовать и импульсные сигналы с низким активным уровнем (инверсные импульсные сигналы).

Операторные выражения, описывающие импульсные сигналы, могут быть применены для проектирования логических схем, формирующих такие сигналы. На рис. 2.3,а показана схема генератора импульсного сигнала построенная в соответствии с (2.1), а на рис. 2.3,б - временные диаграммы, поясняющие ее работу (для простоты положили, что ЛЭ безынерционны). Инверсный импульсный сигнал может быть получен с помощью ЛЭ НЕ. Генераторы импульсных сигналов называются разностными элементами.

На рис. 2.3, в представлена схема удвоения частоты, выполненная в соответствии с (2.5), а на рис. 2.3,г - временные

Рис. 2.3

диаграммы, поясняющие ее работу. Вместо асинхронных потенциальных элементов задержки на время можно использовать некоторое число последовательно включенных ЛЭ, обеспечивающих заданную задержку.

Впервые операторы переходов были введены в работе [17]. Математический аппарат для синтеза и анализа цифровых схем, основанный на операторах переходов, разработан в [10].