6.15. Синтез линейных комбинационных схем

Для проектирования линейнцх цифровых автоматов над полем при необходимо использовать специальный набор базовых ЛЭ, выполняющих операции сложения и умножения по модулю Такие ЛЭ являются достаточно сложными устройствами, синтез которых можно выполнить в виде КС на основе двоичных сумматоров и стандартных ЛЭ. Любой автомат над полем может быть построен на -триггерах и вышеуказанных ЛЭ (никакие другие элементы не требуются).

Сумматор по модулю q.

На вход сумматора по модулю могут поступать числа Сумматор должен вычислять сумму

где число Z равно остатку от деления суммы на число Понятно, что для чисел можно использовать двоичное представление, т. е. эти числа можно записать в виде:

где двоичные разряды соответствующих чисел. Требуется синтезировать сумматор по модулю при любом значении

Традиционные методы синтеза (таблицы истинности, диаграммы Вейча) не могут быть использованы для логического проектирования сумматоров по модулю так как по условию задачи число двоичных разрядов не задано. В данном случае следует воспользоваться арифметическими свойствами входных и выходных переменных, а в качестве основных элементов — двоичными 4-разрядными сумматорами

Рассмотрим двоичную сумму

где а вес двоичного разряда равен (отметим, что сумма весов всех остальных разрядов равна Очевидно, что сумма может принимать значения: в зависимости от значений чисел (однако, следует иметь в виду, что при любых значениях чисел сумма

Если сумма то и из соотношения (6.63) следует, что а значит,

где символ означает исключение у величины старшего разряда т. е.

Если же сумма то и из соотношения (6.63) следует, что а значит,

Таким образом, имеет место соотношение:

На основании соотношения (6.64) может быть построена схема сумматора по модулю где любое простое число. На рис. 6.154 показана схема сумматора для случаев, когда число можно представить не более чем четырьмя разрядами и 13). Двоичный сумматор производит вычисление суммы чисел двоичный сумматор вычисляет сумму определяемую соотношением (6.63), поскольку дополнение числа до числа 24. Разряд суммы (6.63) формируется с помощью ЛЭ ИЛИ. Если то ЛЭ ИЛИ-НЕ выдают число поступающее на входы двоичного сумматора который и вычисляет сумму Если же то ЛЭ

Рис. 6.154

ИЛИ-НЕ выдают число Таким же способом могут быть построены сумматоры по модулю для любого где В структурных схемах будем использовать для сумматоров по модулю условное обозначение, показанное на рис. 6.155,а.

Если (при числа простые), то схема сумматора по модулю упрощается, так как и сумма (6.63) вычисляется с помощью одного двоичного сумматора (число 1 подается на вход сумматора а сумматор и ЛЭ ИЛИ исключаются). При схема сумматора по модулю может быть упрощена за счет исключения ЛЭ ИЛИ-НЕ. В этом случае следует получить сигнал и подать его на входы двоичного сумматора соответствующие числу На рис. 6.156 показана схема сумматора по модулю выполненная на основе 4-разрядных двоичных сумматоров (здесь достаточно было бы использовать -разрядные двоичные сумматоры).