2.4. Анализ логических схем

Основной задачей анализа ЛС является исследование их поведения при переходных процессах (в неустойчивых состояниях). Такое исследование позволяет не только определить длительность переходных процессов при тех или иных входных воздействиях, но и установить закон функционирования ЛС, если он неизвестен. Понятно, что для исследования переходных процессов необходимо использовать динамическую модель ЛС, которая описывается функцией переходов (2.10) или (2.11).

Для любой ЛС функцию переходов всегда можно записать в явном виде и вычислить все ее значения в зависимости от значений Пара называется полным состоянием логической схемы. Значения функции переходов для конкретных значений пар будем записывать в виде Вычисленные значения удобно представлять в виде таблицы, называемой таблицей переходов.

Таблица переходов состоит из строк, каждой из которых соответствует одно из внутренних состояний столбцов, каждому из которых соответствует одно из состояний входа В каждую из клеток таблицы переходов, стоящую на пересечении столбца у, и строки т. е. в клетки, соответствующие парам записывается вычисленное значение Если то это означает, что

внутреннее состояние для состояния входа их является устойчивым. Если же то ЛС под воздействием состояния входа перейдет через некоторое время из состояния в состояние , т. е. ЛС в данном случае находится в неустойчивом состоянии. Для большей наглядности устойчивые состояния в таблицах переходов отмечаются круглыми скобками.

Методику анализа ЛС рассмотрим на пяти конкретных примерах, которые позволят не только освоить ее, но и ввести на физической основе некоторые новые понятия.

Пример состоит из одного ЛЭ И-НЕ (см. рис. 2.4,6), описываемого функцией переходов (2.7), т.е.

где Таблица переходов в этом случае состоит из столбцов и строк (табл. 2.1).

Таблица 2.1. (см. скан) Таблица переходов ЛЭ И-НЕ

Значения довольно просто вычисляются на основании выражения (2.15). По таблице переходов легко установить, какие состояния входа при данном исходном устойчивом состоянии вызывают в ЛС переходный процесс. Так, например, если то переходный процесс (изменение выходного сигнала а с 0 на 1) могут вызвать значения входа

Функцию переходов можно представить и графически так называемым графом переходов (рис. 2.8), который легко может быть построен по таблице переходов. Граф переходов состоит из узлов, обозначаемых кружками, и ветвей, обозначаемых направленными линиями. Узлы указывают внутренние состояния а ветви — переходы между ними, вызываемые состояниями входа Ветви, исходящие из какого-либо узла и входящие в этот же узел, называются петлями. Ветви и петли подписываются состояниями входа вызывающими соответствующие переходы. Петли указывают, при каких состояниях входа данное внутреннее состояние ЛС является устойчивым. С помощью графа переходов достигается большая наглядность изображения работы ЛС. Следует не забывать, что изменения внутренних состояний происходят не мгновенно, а через время равное задержке сигналов в одном ЛЭ.

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Пример 2. Установим закон функционирования ЛС с обратными связями (см. рис. 2.6), которая описывается функцией переходов (2.8). Составим по ней таблицу переходов (табл. 2.2) и отметим скобками устойчивые состояния. Как и в предыдущем примере, каждый столбец содержит по одному устойчивому состоянию. Наличие для каждого состояния входа только одного устойчивого состояния является достаточным условием того, чтобы ЛС была комбинационной схемой.

На рис. 2.9, в показан граф переходов, составленный по табл. 2.2. Поясним составление графа переходов. Пусть исходное состояние входа т.е. Из табл. 2.2 следует, что ЛС находится в устойчивом состоянии т. е. полное ее состояние определяется парой При изменении сигнала на 1 (состояния входа на состояние должно измениться на состояние так как оно находится в столбце и строке Изменение состояния произойдет через время поскольку при этом изменяется выходной сигнал только одного Внутреннее состояние при состоянии входа как это видно из табл. 2.2, неустойчиво, поэтому оно должно измениться на следующее состояние соответствующее возникшей новой паре Процесс изменения внутренних состояний продолжается до тех пор, пока ЛС не придет в устойчивое состояние. Из табл. 2.2 следует, что при этом реализуется следующая последовательность полных состояний:

Первый переход вызывается изменением состояния входа, а все остальные — изменениями внутренних состояний. Первое и последнее полные внутренние состояния устойчивые (отмечены круглыми скобками). Аналогично этому по табл. 2.2 отыскиваются переходы при изменении входного сигнала с 1 на 0 (рис. 2.9,а). Граф переходов составлен только из тех состояний, которые возникают при переходах между устойчивыми внутренними состояниями.

Состояние в которое есть переход под воздействием

Таблица 2.2. (см. скан) Таблица переходов РЭ

Таблица 2.3. (см. скан) Таблица переходов генератора

какого-либо состояния входа но не являющееся для него устойчивым, называется переходным состоянием. Так, состояния переходные.

При практическом использовании любой ЛС частота изменения состояний входа должна быть ограничена некоторой величиной, гарантирующей надежный переход из одного устойчивого состояния в другое, т. е. состояние входа не должно изменяться до тех пор, пока в ЛС не закончится переходный процесс. В противном случае поведение ЛС будет недетерминированным.

Из графа переходов (рис. 2.9,а) видно, что при переходах внутренние состояния изменяются только на соседние (при каждом переходе изменяется выходной сигнал только одного и на выходе при изменении входного сигнала на 1 формируется сигнал, равный 0, длительностью где среднее время паразитной задержки сигналов в одном ЛЭ. На этом основании данная ЛС называется разностным элементом (элементом, формирующим импульсный сигнал при изменениях потенциального сигнала

На рис. 2.9, б показаны временные диаграммы, построенные по графу переходов на рис. 2.9,а (точками помечены интервалы времени когда ЛС находится в неустойчивом состоянии). Из рис. следует, что выходной импульсный сигнал ЛС описывается функцией Если в обратную связь с на (см. рис. 2.6) последовательно включить то длительность формируемого импульсного сигнала будет равна

Для приобретения навыков анализа ЛС рекомендуется самостоятельно произвести анализ двойственного разностного элемента, выполненного на ЛЭ ИЛИ-НЕ (см. рис. 1.19, в). Следует убедиться, что на его выходе формируется сигнал, равный 1, длительностью при изменении входного сигнала с 1 на 0. Если входной и выходной сигналы этого разностного элемента обозначить через то закон его функционирования будет описываться функцией

В § 1.13 было введено понятие порядка КС без обратных связей как максимальное число последовательно включенных ЛЭ. Для КС с обратными связями такое определение порядка непригодно. Действительно, по виду КС на рис. 2.6 ее порядок установить невозможно. Так как порядок КС характеризует максимальную длительность переходного процесса, вызываемого изменениями входных сигналов, то порядком КС с обратными связями следут считать максимальное число переходов внутренних состояний при изменении ее состояний входа. На этом основании КС, представляющая собой рассмотренный разностный элемент (рис. 2.6), имеет четвертый порядок.

Рис. 2.10

Пример 3. Исследуем ЛС с обратной связью, изображенную на рис. 2.10,а. Здесь (и в дальнейшем) для простоты паразитные элементы задержки не показаны. Для записи функции переходов ЛС

по ее структурной схеме (модели) все выходные сигналы следует заменить на оставив неизменными обозначения их входных сигналов. Тогда из рис. 2.10,а следует, что функция переходов ЛС

Опустив знаки получим статическую модель систему логических уравнений

с тремя неизвестными Благодаря тому, что неизвестные обычно не являются независимыми, имеется возможность сократить их число. Подстановкой значений одних неизвестных в другие данную систему можно свести к одному уравнению решение которого дает

Из этого следует, что при значении входного сигнала решения не существует, т. е. в ЛС при происходит автоколебательный процесс, так как отсутствуют устойчивые состояния. При из системы (2.17) следует, что имеется одно устойчивое состояние, в котором сигналы Таким образом, ЛС представляет собой управляемый сигналом х автогенератор.

Эти же самые выводы можно сделать и из таблицы переходов (табл. 2.3), составленной на основании функции переходов (2.16). Действительно, в столбце, соответствующем значению входного сигнала

не имеется ни одного устойчивого состояния. На рис. 2.10, б показан граф переходов, построенный по табл. 2.3, из которого видно, что при внутренние состояния ЛС самопроизвольно изменяются на соседние, и период генерируемого сигнала равен По графу переходов легко построить временные диаграммы для сигналов

Из табл. 2.3 видно, что при состояние изменяется на а на Эти переходы, отмеченные на рис. штриховыми ветвями, могут происходить длительное время только при равенстве задержек сигналов во всех трех ЛЭ, т. е. при Даже при незначительном различии этих задержек в ЛС возникают состязания (гонки) ЛЭ. Так как истинное соотношение задержек неизвестно, то поведение ЛС в этом случае недетерминированно. Как бы близки ни были величины задержек, должен произойти переход в подграф, состоящий из шести состояний (рис. 2.10, б). Здесь внутренние состояния изменяются на соседние, а значит состязания ЛЭ отсутствуют, и автогенерация продолжается до тех пор, пока управляющий сигнал

Рис. 2.11

Пример 4. Установим закон функционирования ЛС, приведенной на рис. 2.11,а. В этом случае состояния и функция переходов

определяется выражениями:

Опустив знаки получим статическую модель

Подстановка значения из второго уравнения в первое дает логическое уравнение с одним неизвестным Решив его, получим:

т. е. решение существует, а значит автоколебательные процессы в ЛС отсутствуют. Упростив полученное решение и подставив его во второе

уравнение (2.19), найдем:

Из этих выражений видно, что выходные сигналы неоднозначно выражаются через входные сигналы а это означает, что ЛС не является комбинационной схемой. В таблице переходов (табл. 2.4), составленной на основании функции переходов (2.18), в столбце имеется два устойчивых состояния в отличие от предыдущих таблиц переходов, в которых было только по одному устойчивому состоянию. Из этого следует вывод: чтобы ЛС была комбинационной схемой, достаточно, чтобы во всех столбцах соответствующей ей таблицы переходов было только по одному устойчивому состоянию.

Таблица 2.4. (см. скан) Таблица переходов -триггера

В отличие от КС, которые в устойчивых состояниях реализуют однозначное соответствие между состояниями входа и состояниями выхода в рассматриваемой ЛС реализуется соответствие между последовательностями состояний входа (входными последовательностями) и последовательностями состояний выхода (выходными последовательностями). По графу переходов (рис. составленному по табл. 2.4 для ЛС на рис. 2.11,а, легко установить такое соответствие. Так, например, входной последовательности соответствует выходная последовательность откуда видно, что при одном и том «состоянии входа 1/3 получаются разные состояния выхода Такие ЛС называются последовательностными схемами, или цифровыми автоматами. Для того, чтобы ЛС была последовательности ой, необходимо (но не достаточно), чтобы хотя бы в одном столбце имелось не менее двух устойчивых состояний.

При изменении состояния входа на возникают состязания ЛЭ (штриховые ветви на рис. так как состояние изменяется на несоседнее состояние зависимости от соотношений задержек может установиться в любое из двух устойчивых состояний: или (рис. 2.11,б), т. е. в этом случае переходы между устойчивыми состояниями являются недетерминированными. Таким образом, в

рассматриваемой последовательностной схеме состязания ЛЭ приводят к состязаниям устойчивых состояний, которые недопустимы, так как разным устойчивым состояниям обычно соответствуют разные значения выходных сигналов автомата. Поэтому при практическом использовании ЛС состояние входа должно быть запрещено, т.е. на входы никогда одновременно не должны подаваться значения сигналов При выполнении этого условия ЛС будет представлять собой асинхронный потенциальный триггер типа имеющий прямой и инверсный выходы

Из графа переходов (рис. 2.11, б) следует, что при изменении внутренних состояний триггера прямой и инверсный сигналы на время или одновременно становятся равными 1 (состояние является переходным для состояний входа и Необходимо подчеркнуть, что понятие прямого и инверсного сигналов может быть определено только для устойчивых внутренних состояний, так как практически всегда "прямые" и "инверсные" сигналы в переходных режимах имеют одинаковые значения 0 или 1.

Рассмотренные примеры позволяют разделить все ЛС на три класса: комбинационные схемы, последовательностные схемы (цифровые автоматы) и автогенераторы. В принципе, автогенераторы можно отнести к особым случаям комбинационных или последовательностных схем, поскольку ЛС с обратными связями могут быть как комбинационными, так и последовательностными схемами. Действительно, автогенератор можно рассматривать как КС, имеющую бесконечно высокий порядок, поскольку переходный процесс в автогенераторе длится бесконечно долго. Порядок КС, представляющей собой управляемый автогенератор, зависит от значения входного управляющего сигнала и от момента времени его изменения по отношению к внутреннему состоянию автогенератора. Но управляемый автогенератор можно считать и особым случаем цифрового автомата — автомата, не имеющего устойчивых внутренних состояний при некоторых состояниях входа.

Пример 5. Требуется установить закон функционирования ЛС на рис. 2.12, функция переходов которой

описывается выражениями

Решение данной системы уравнений относительно устойчивых состояний дает т. е. решение отсутствует при что подтверждается и таблицей переходов (табл. 2.5; в столбце устойчивые состояния отсутствуют). При сигналы или или т.е. в этом случае имеется два устойчивых состояния Для получения практических навыков в аналитических преобразованиях функций решение системы логических уравнений рекомендуется выполнить самостоятельно, сведя ее предварительно к одному логическому уравнению (число независимых уравнений обычно значительно меньше, чем их имеется в статической модели ЛС).

(см. скан)

Из графа переходов (рис.2.13,а), построенного на основании табл. 2.5, видно, что при значении входного гнала внутренние состояния ЛС циклически изменяются с периодом так как в этом случае не имеется ни одного устойчивого состояния. Внутренние состояния изменяются только на соседние, а значит состязания ЛЭ отсутствуют.

Покажем, что данную ЛС можно использовать в качестве асинхронного импульсного триггера со счетным входом -триггера), если потенциальный сигнал х заменить импульсным сигналом ( входной информационный сигнал триггеров со счетным входом).

Импульсный сигнал характеризуется последовательностью значений Пусть при значении сигнала находится в устойчивом состоянии затем его значение изменяется на 1. В ЛС при таком воздействии возникает переходный процесс, характеризующийся последовательностью изменений внутренних состояний

Если импульсный сигнал изменится с 1 на 0 в тот момент времени, когда ЛС перешла в состояние то переходный процесс на этом и закончится, так как данное внутреннее состояние является устойчивым для значения входного сигнала Часть ЛС, состоящая из представляет собой рассмотренный выше асинхронный потенциальный -триггер. Из графа переходов (рис. 2.13,а) видно, что данный триггер полностью переключается (сигналы в момент времени, в который ЛС переходит в неустойчивое состояние и состояние изменяется на при любых значениях входного сигнала. Длительность перехода из устойчивого состояния в неустойчивое состояние равна где среднее время паразитной задержки сигналов в одном ЛЭ.

Если импульсный сикнал изменится с 1 на 0, когда ЛС находится в неустойчивом состоянии то возникнут состязания ЛЭ, которые приведут к состязаниям устойчивых состояний (подробный анализ состязаний можно произвести с помощью табл. 2.5). Длительность перехода ЛС из устойчивого состояния в состояние равна а в состояние Поэтому длительность импульсного сигнала при использовании ЛС на рис. 2.12 в качестве триггера со счетным входом -триггера) должна удовлетворять соотношению

Переход из устойчивого состояния под воздействием активного уровня импульсного сигнала в состояние в силу симметричности схемы подчиняется тем же закономерностям, что и рассмотренный выше переход из состояния в состояние поэтому при поступлении на вход триггера каждого нового импульса его состояние (сигнал будет изменяться на инверсное (0 на 1, а 1 на 0).

Таким образом, действительно, рассмотренная ЛС при соответствующем выборе длительности импульсного сигнала может быть использована в качестве триггера со счетным входом. На рис. изображены временные диаграммы, поясняющие его работу (интервалы времени обозначены одной точкой, а двумя точками).

Импульсный сигнал длительностью можно получить с помощью разностного элемента, показанного на рис. 2.6 (перед подачей на вход триггера выходной сигнал разностного элемента необходимо проинвертировать).

Если на вход триггера подать сигнал имеющий длительность то триггер сработает два раза, т. е. один импульс будет воспринят как два импульса, длительность которых определяется соотношением (2.21). Рассмотренный триггер можно использовать и без разностного элемента, если период подаваемого на его вход сигнала (полагаем, что полупериоды равны) удовлетворяет соотношению

Изложенная формальная методика анализа ЛС дает ясное представление о физических процессах, протекающих в них при изменении входных воздействий, и достаточно проста в применении, если ЛС состоит из небольшого числа и имеет мало физических входов Анализ же более сложных ЛС необходимо проводить с помощью компьютера. Все понятия, введенные при выполнении анализа ЛС, естественным образом используются в теории асинхронных потенциальных автоматов.

Один из упрощенных методов анализа ЛС с обратными связями заключается в отыскании минимального числа обратных связей, при разрыве которых получается ЛС без обратных связей. Это позволяет найти минимальное число переменных для описания динамической модели ЛС. Так, если в разностном элементе (см. рис. 2.6) разорвать связь с выхода ЛЭ на вход то получится ЛС без обратных связей. Тогда паразитные элементы задержки можно вынести на выход а полученной ЛС и получить упрощенную динамическую модель ЛС с восстановленной обратной связью (рис. 2.14):

Упрощенная динамическая модель ЛС позволяет значительно проще установить закон ее функционирования, переходные процессы на ее основе исследовать невозможно.

Рис. 2.14