1.2. Позиционные системы счисления

Совокупность правил записи чисел называется системой счисления. Наиболее часто используются позиционные системы, в которых целое положительное число записывается в виде последовательности символов а вес каждого символа равен где основание системы счисления, Тогда любое целое положительное число в системе счисления с основанием можно записать в виде:

При вычислении суммы полагаем, что все значения представлены в привычной десятичной системе счисления. Максимальное n-разрядное число получается при для всех :

Таким образом, существует различных n-разрядных чисел (с учетом нуля). В табл. 1.2 показан перевод 16 чисел из одной системы счисления в другую для наиболее часто используемых оснований

Таблица 1.2. Запись чисел в основных системах счисления

Двоичная система счисления используется для представления информации в ЭВМ, что обусловлено легкостью реализации двоичных электронных элементов (требуется высоконадежное различение только двух состояний элементов). Восприятие же человеком информации, представленной в двоичной системе счисления, сильно затруднено как из-за ее монотонности, так и из-за большого числа разрядов, необходимых для ее представления.

В некоторых случаях нумерацию разрядов n-разрядного числа удобнее производить числами от 1 до :

Перевод чисел из системы счисления с произвольным основанием в десятичную систему счисления выполняется по вышеприведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления только числа Несколько сложнее перевести числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Наиболее просто такая операция выполняется для

Пусть требуется перевести число (1993) в указанные системы, счисления. Перевод в восьмеричную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание системы счисления

Таким образом, Для перевода полученного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую цифру представить в двоичном коде: (точки введены только для удобства чтения двоичного числа в 8-ричной системе счисления). Перевод двоичного числа в 16-ричную систему счисления выполняется его разбиением на тетрады (тетрада — четыре разряда) и переводом каждой тетрады в 16-ричную систему счисления: Итак,

В общем случае числа имеют целую и дробную части. Такие числа в позиционных системах счисления с основанием можно записать в виде

Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее Целая часть числа обозначается через (так [13,25] ). Дробной частью числа называется разность Всегда

Системы счисления с основаниями при жестко связаны с двоичной системой счисления Для перевода чисел из этих систем в двоичную запись достаточно цифры всех разрядов числа представить -разрядным двоичным кодом. Не более сложно и взаимное преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Для общения человека с ЭВМ наиболее удобна система счисления с основанием что обусловлено большей компактностью записи чисел, чем в системах счисления с при приемлемом для запоминания человеком числе различных цифр (символов), используемых для обозначения всех значений разрядов.

Для представления в ЭВМ десятичных чисел также необходимо использовать их двоичное кодирование. С этой целью наиболее часто применяется код прямого замещения, называемый

иначе двоично-десятичным кодом 8-4-2-1 (каждая десятичная цифра заменяется прямым двоичным эквивалентом двоичной тетрадой; шесть двоичных тетрад 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 и 1111 не используются). Так, можно записать, что

Десятичные числа в цифровых устройствах (например, в декадных счетчиках) иногда представляются в двоично-десятинном коде 5-4-2-1, который отличается от кода прямого замещения весом старшего разряда тетрады. Числа от 0 до 9 в этом коде имеют представление:

В принципе, на основании приведенного выше выражения для записи чисел в позиционных системах счисления можно определить унитарную систему счисления, в которой используется основание а ее единственный символ обозначить через (формально следовало бы положить Так как то вес разряда не зависит от его положения в записи числа, т. е. система счисления, по существу, превращается в непозиционную. Это самая древняя система счисления, используемая до сих пор, например, охотниками, делающими зарубки на стволе ружья. В электронике унитарная система счисления применяется довольно часто для представления чисел количеством импульсов, подаваемых на вход устройства (например, где символ 1 означает один импульс).

Для кодирования информации в электронных схемах широкое применение находит унитарный код, содержащий символ 1 только в одной позиции n-разрядного кода (в остальных позициях проставляются символы 0), т.е. для представления информации используется специальное двоичное ее кодирование. Так, например, числа от 0 до 7 можно записать с помощью унитарного кода:

Унитарный код чаще всего применяется для кодирования нечисловой информации. В частности, на выходах полных дешифраторов (см. § 6.1) всегда реализуется унитарный код.

Дополнительные полезные сведения по системам счисления и кодированию числовой информации можно найти в [6].