4.1. Тригонометрические ряды

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ГЛАВА 4 РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§4.1. Тригонометрические ряды

Функция называется периодической периода , если она определена на всей действительной оси и для нее выполняется равенство

для всех .

Например, тригонометрические функции

(1)

имеют период .

На самом деле функции и для каждого натурального имеют период . Таким образом при . Постоянная же имеет как угодно малый период. Однако все функции последовательности (1) имеют период .

Периодическая функция

изображает периодическое движение (колебание) точки, имеющей в момент времени координату (на оси ). Функция (периода )

, (2)

где и - постоянные, - натуральное, определяет гармоническое колебание точки с амплитудой , фазой и частотой .

Функция (2) имеет период , т. е. одно полное колебание происходит за промежуток времени . Количество же колебаний в единицу времени равно . Именно число нужно было бы назвать частотой колебания, но обычно частотой (колебания) называют число .

Отметим, что функция

где - натуральное число, определяет гармоническое колебание, потому что

где

a определяется однозначно из соотношений

Примером гармонического колебания может служить колебание пружинного маятника (рис. 108). Пусть пружина, подвешенная в точке , имеет на нижнем ее конце груз массы , координата центра тяжести которого в момент равна . Грузу в момент придается импульс по направлению оси . В результате груз будет колебаться. Отклонение его от точки равновесия обозначим через . Так как сила, действующая на груз в первом приближении, равна по закону Ньютона , то

Рис. 108

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид

где - произвольные постоянные. Так как

то

и мы получили, что центр тяжести груза совершает гармоническое колебание.

С периодическими движениями (колебаниями) приходится иметь дело в самых различных областях знания - в теории упругости, акустике, радиотехнике, электротехнике - и всюду простейшими периодическими движениями являются гармонические колебания.

Конечная сумма гармонических колебаний с данным периодом представляет собой сложное колебание

. (3)

Нулевой член в этой сумме мы записали в виде . Мы увидим, что это удобно.

Наконец, более сложное периодическое колебание (движение) можно получить как сумму сходящегося (для всех ) ряда

, (4)

называемого тригонометрическим рядом.

Числа и называются коэффициентами тригонометрического ряда (4), а отдельные его слагаемые

называются членами ряда (4) или его гармониками (соответствующими частоте ).

Пример 1. На рис. 109-112 изображены графики первых четырех частичных сумм ряда

и график функции

Рис. 109

Рис. 110

Рис. 111

Рис. 112

На рис.109 (наряду с графиком ) изображена функция . На рис.110 штриховыми линиями нарисованы графики и и сплошной линией –

На рис.111 штриховыми линиями нарисованы графики и и сплошной линией –

и т.д. Уже из рис. 112 видно, что надо полагать

. (5)

Так оно и есть на самом деле. По этому поводу см. далее § 4.4. Функции для любого имеют период :

Продолжим функцию на всю действительную ось периодически с периодом . Тогда она будет иметь график, как на рис. 113. Так как равенство (5) выполняется для всех и функции и периода , то