§ 7. Свертка и корреляция

Операции свертки и корреляции будем обозначать символами и соответственно. В одномерном случае для функций эти операции определяются следующим образом:

Заметим, что корреляция рассматриваемая как функция переменной х. равна корреляции рассматриваемой как функция переменной Обозначив фурье-образы функций через соответственно, вспомнив определения (6.1) и применив дельта-функции так, как показано § 6, получим, что фурье-образ функции (7.1) можно прелставить в виде

Соотношение (7.3) называется теоремой о свертке. Аналогичные выкладки для функции (7.2) приводят к соотношению

которое мы будем называть теоремой о корреляции.

В двумерном случае свертка и корреляция функций определяются следуюшим образом:

Соответственно этому теоремы о свертке и корреляции принимают следующий вид:

В случае функции которая может принимать комплексные значения, корреляция функции с функцией называется автокорреляцией функции ?:

Из равенства (7.8) следует теорема об автокорреляции:

которая, конечно, справедлива и в одномерном случае.

В качестве упражнения полезно самому доказать коммутативность и ассоциативность операции свертки:

Изображения, встречающиеся в практических задачах, имеют конечные размеры. Это означает, что интенсивность равна нулю всюду, кроме некоторой конечной области плоскости изображения. Для произвольного изображения прямоугольник (со сторонами, параллельными осям х в который вписывается эта конечная область, будем обозначать через и называть кадром изображения или просто кадром, если это не может привести к путанице. Длины сторон кадра в направлениях х и у называются -протяженностями, и вместе они называются размерами изображения (и его

кадра). В одномерном случае мы будем говорить не о конечных размерах и кадре изображения, а о конечной длине и сегменте изображения (или просто сегменте). Длина сегмента, которая всегда в данной книге будет у-протяженностью, называется его протяженностью.

Если обозначить через либо либо у-протяженность кадра изображения то из соотношений (7.5) и (7.6) сразу получим

при условии, что функции имеют конечные протяженности.

Соотношение (7.12) можно рассматривать как теорему о протяженности свертки и как теорему о протяженности корреляции. Если последнюю теорему естественно назвать теоремой о протяженности автокорреляции.

Предположим, что для изображения выполняется некое соотношение, в которое входит его размер, но которое не фиксирует последнего. Наиболее компактное изображение, совместимое с этим соотношением, определяется здесь как изображение, для которого минимальна величина где и и у-протяженности, соответственно.

Нели задана величина где — автокорреляция изображения, обозначаемого для удобства через то из соотношения (7.6), в которое вместо подставлено А, явствует, что

где наиболее компактное изображение с автокорреляцией, равной Следует иметь в виду, что изображения с большей протяженностью могут иметь ту же самую автокорреляцию, поскольку при интегрировании осцилляции подынтегрального выражения соотношении могут полностью компенсироваться при всех значениях х, лежаших вне Результат, выражаемый соотношением (7.13), называется теоремой о минимальной протяженности автокорреляции.

Из определений, данных в § 6, следует равенство

Нели функция имеет конечную протяженность, то можно принять, что

Следовательно,

где ограниченная дельта-функция, которая определяется так: