§ 8. Компактные изображения с неотрицательными значениями

По соображениям, приведенным в § 4, изображения, рассматриваемые в данной книге, в отсутствие особых оговорок считаются удовлетворяющими условиям (3.10):

Подставив условия (8.1) в соотношение (6.12) с заменой и на , получим

Объединив соотношение (7.6) с условиями (8.1), можно заключить, что автокорреляция функции является не только вещественной функцией, т. е.

но и четной функцией переменной х.

Мгновенные значения когерентных монохроматических нолей в плоскости зрачка и в фокальной плоскости устройства, формирующего изображение, связаны друг с другом преобразованием Фурье. Тем не менее мы здесь будем проводить четкое различие между плоскостью зрачка (текущая точка которой определяется вектором устройства, формирующего изображение, и частотной плоскостью (текущая точка которой определяется вектором ). Дело в том, что на практике очень часто приходится иметь дело с изображениями объектов, излучающих некоррелированные волны в том смысле, что когерентность излучения, исходящего из двух сколь угодно близко расположенных точек, пренебрежимо мала. Изображение такого объекта прелставляет собой фурье-образ автокорреляции ноля на зрачке. Проводить же различие между фокальной плоскостью и плоскостью

изображения пет особой необходимости, поскольку изображение некоего распределения пространственно-некогерентных источников равно просто усредненной по премеии интенсивности поля, существующего в плоскости изображения. Ниже все это станет яснее. Эквивалентность фокальной плоскости и плоскости изображения выражается формулой (8.10), а неэквивалентность плоскости зрачка и частотной плоскости — формулой (8.13).

Вернемся теперь снова к § 3 и подробнее остановимся на изображениях распределений пространственно-некогерентных источников. Для удобства в анализе введем плоскость источника, которая может быть расположена любом месте между реальными источниками и плоскостью зрачка. Но мы потребуем, чтобы она была параллельна плоскости зрачка и располагалась как можно ближе к источникам, не пересекаясь с ними. Плоскость зрачка должна лежать по одну сторону от плоскости источника, а источники — по другую. Поле излучения в плоскости зрачка можно с одинаковой точностью выразить как через реальные источники, так и через жвивалентные им источники, расположенные в плоскости источника.

Отметим, что, даже если реальные источники являются пространственно-некогерентными, эквивалентные источники могут не быть такими. Рассмотрим произвольную точку, определенную радиус-вектором , в плоскости источника. Комплексная амплитуда плотности эквивалентного источника в этой точке находится путем суммирования излучения, падающею на нее от всего распределения реальных источников. Следовательно, для двух произвольных точек в плоскости источника должна иметься некоторая корреляция между амплитудами поскольку каждая из них есть интеграл по всем реальным источникам. Но поле в плоскости зрачка этим еще не определяется. В каждой точке на плоскости зрачка поле можно рассматривать как сумму вкладов всех точек реального распределения источников (по крайней мерс всех точек, лежаших в поле зрения устройства, формирующего изображение). Все лучи, исходящие из произвольной точки реального распределения источников и падающие на плоскость зрачка, попадают в некоторую область, скажем плоскости источника, размер которой зависит от отношения диаметра зрачка к расстоянию от зрачка до плоскости источника. Если данное отношение очень мало, а это почти всегда выполняется на практике, то линейные размеры области наверняка будут меньше предела разрешения (или дифракционного предела) устройства, формирующего изображение. Но если реальные источники являются пространственно-некогерентными, то та часть эквивалентных источников, которая вносит вклад в поле на плоскости зрачка, не может

обладать отличном от нуля степенью когерентности на расстояниях, превышающих линейные размеры области Следовательно, когда рассматриваемое отношение достаточно мало, часть распределения эквивалентных источников, которая лает вклад в поле на плоскости зрачка, является практически пространственно-некогерентной. Обозначим эту часть распределения источников через и будем называть эквивалентным планарным распределением источников, Выше мы не учитывали искажения вносимого средой распространения, находящейся между плоскостью источника и плоскостью зрачка [см. текст, относящийся к условию (3.5)]. Кроме того, при расчете детальной формы изображения, формируемого данным устройством, нужно учитывать его аберрации и функцию зрачка. Все аберрации удобно свести в олну функцию Функцию зрачка, которую в литературе по оптике иногда называют функцией аподизации. в радиотехнике называют функцией убывания поля к краям раскрыва (см. далее ). Эту функцию мы обозначим через Ее важнейшее свойство таково:

Поскольку величина введенная в § 3, может характеризовать мгновенное поле в фокальной плоскости устройства с аподизацмей, отделенного объекта искажающей средой, мы для удобства расширим определение функции включив в нее искажение, связанное с эффектом распространения, функцию зрачка и аберрации. Если ввести функцию

и потребовать, чтобы искажение было изопланагичным [формула (3.5)], то функция будет даваться выражением

в предположении, что расстояние от плоскости источника велико по сравнению с наименьшей длиной волны излучения и с наибольшим линейным размером зрачка и, стало быть, зрачок можно рассматривать находящимся в дальней (фраунгоферовой) зоне части плоскости источника, попадающего в поле зрения устройства, которое формирует изображение (данное условие, конечно, почти всегда выполняется на практике).

Обращаясь к определению данному в § 3, дважды используя теорему о свертке (7.7) и учитывая, что операция свертки ассоциативна [формула (7.11)], из соотношений (8.5) и (8.6) получаем

где В силу условия (8.4) функция

есть мгновенное изображение эквивалентного планарного распределения источников т. е. поле, которое существовало бы в фокальной плоскости устройства, формирующего изображение, в отсутствие аберраций и искажений, связанных с эффектом распространения.

Если практически пространственно-некогерентное поле, то [см. текст, относящийся к формуле (3.6)] мы имеем

где двумерная дельта-функция [формула (6.18)], а усредненная интенсивность изображения Поскольку правая часть равенства описывает эффект дифракционного ограничения устройством, формирующим изображение [ибо есть фурье-образ функции равной нулю вне зрачка в соответствии с условием (8.4)], из соотношения (8.9) мы видим, что среднее по времени произведения на сводится к истинному изображению (см. его определение в § 3) эквивален тного планарного распределения источников в точке Таким образом, имеем

Как отмечалось в § 4 (последнее предложение третьего абзаца), величины введенные в § 3, эквивалентны. Поэтому, подставляя выражения (8.7) и (8.8) во второй случай равенства (3.7), получаем следующие соотношения [в которых использованы определение (7.5) и равенство (8.10)]:

Это важный результат» который может также служить хорошим примером эффективного применения метода Фурье в анализе.

Сравнивая соотношения (3.4) и (8.11), получаем

Фурье-образ функции И описывает усредненное во времени влияние искажающей среды на поле в плоскости зрачка устройства, формирующего изображение. Поэтому величину часто называют оптической передаточной функцией (ОПФ), и это название столь же естественно, как и название ФРТ для функции На основании теоремы об автокорреляции (7.10) и соотношения (8.12) можно написать

Теперь остается последнее, очень важное замечание, которое необходимо сделать относительно изображений конечных размеров с вещественными и неотрицательными значениями. Из теоремы о минимальной протяженности автокорреляции (см. § 7) следует, что протяженности наиболеее компактного изображения (или изображений, если их может быть более одного, см. гл. 4) совместимые с заданной автокорреляцией должны быть равны половине соответствующих протяженностей функции Но если выполняются условия (8.1), то с заданной автокорреляцией совместимо только наиболее компактное изображение что явствует из интеграла по кадру определяющего автокорреляцию вещественной неотрицательной функции

Поскольку функция неотрицательна, подынтегральное выражение в формуле (8.14) не может осциллировать, так что данный интеграл отличен от нуля при тех значениях х, при которых в конечной области -плоскости. Следовательно,

где обозначение, введенное в § 7. Результат, выражаемый соотношением (8.15), можно назвать теоремой об ограничении протяженности изображений с вещественными и неотрицательными значениями.