§ 25. Задача трансмиссионной вычислительной томография как интерферометрическая задача

В обычной вычислительной томографии (ВТ) изображение сечения исследуемого тела вычисляется по данным измерения коэффициента ослабления рентгеновского пучка, прошедшего через это тело, о чем и говорит термин «трансмиссионная ВТ».

Принято считать, что изображением в ВТ дается распределение «плотности» в данном срезе. В действительности же, конечно, изображение дает коэффициент «поглощения» рентгеновского излучения, но, поскольку для большинства материалов эта величина приблизительно пропорциональна плотности, можно считать, что «яркость» (или «интенсивность») изображения пропорциональна «плотности».

Если обозначить через коэффициент поглощения рентгеновскою излучения (на единицу длины) для исследуемого сечения, то коэффициент ослабления пучка, прошедшего через данное сечение, можно, очевидно, представить в виде функция, определенная формулой (9,4) (бесконечные пределы интегрирования в этой формуле просто указывают на то, что рассматриваемый пучок проходит через все сечение; последнее в практических приложениях всегда является конечным).

В данной главе изображение ограничено круговой областью на плоскости изображения с центром в начале координат и радиусом К т. е.

Зная постоянную можно вычислить проекцию по логарифму измеренного коэффициента ослабления пучка.

Напомним, что «поглощение» прошедшего пучка является лишь кажущимся в том смысле, что большая часть ослабления излучения связана не с захватом фотонов, а с их рассеянием на атомах исследуемого тела. С точки зрения самой обработки изображений это несущественно, но данное обстоятельство приводит к одному значительному практическому усложнению. Перед детекторами рентгеновского излучения приходится помешать коллиматоры, чтобы гарантировать, что в данный детектор попадут только фотоны, идущие по прямой линии от источника излучения к этому детектору по прямой, идущей параллельно оси на расстоянии от нее). Это приводит к ограничению достижимого разрешения (см., впрочем, п. 2 и 3 ниже).

Отметим, что формула (9.4) описывает «пучок», составленный из «параллельных лучей», прямых линий, параллельных оси у. В практических исследованиях на основе ВТ данные измерений, описываемые формулой (9.4), называются «проекциями параллельного пучка». В настоящее время большее распространение получило применение «проекций веерного пучка» (в этой схеме излучение исходит из эффективного «точечного источника» и регистрируется детекторами, расположенными на дуге окружности с центром в источнике излучения). Это не оказывает влияния на теорию реконструкции изображений по проекциям, хотя часто оказывается удобным ввести некоторые модификации. Последние здесь не обсуждаются, поскольку они являются весьма специальными и могут правильно быть оценены только после детального изучения (см. литературу, указанную в вводных замечаниях к данной главе).

Идеализированная задача трансмиссионной ВТ ставится следующим образом: задана функция в области — требуется восстановить функцию считая, что функция определена формулой (9.4).

Сделаем три важных замечания.

1. Проекциям линейно связана с тем. что измеряется в обычной ВТ, если пучок рентгеновских лучей является моноэнергетнческим, таким, как пучок лучей, испускаемый источником, содержащим один изотоп. Такой источник непригоден для обычных клинических исследований на основе ВТ, а поэтому, как правило, используется

обычная рентгеновская трубка. Для излучения рентгеновской трубки существен нежелательный эффект ужестчения пучка (болсс значительное поглощение фотонов с меньшей энергией, т. е. с более низкой частотой), обсуждаемый далее в § 32.

2. Функцию нельзя измерить в непрерывном интервале значений Можно измерить только конечное число ее дискретных проекций (этот вопрос будет рассмотрен в § 29). Но на практике требуется реконструировать функцию лишь с некоторым конечным разрешением, равным, скажем. Если угол между последовательными проекциями, то расстояние между ними по окружности радиусом которая охватывает данное изображение, равно (см. формулу (25.1)], а это приближенно равно Данный результат следует из теоремы отсчетов (§ 10). Поэтому в силу конечного характера как изображения, так и разрешения, с которым требуется провести его реконструкцию, конечное число проекций практически эквивалентно проекциям, заданным на непрерывном интервале (более точное рассмотрение будет проведено в § 29).

3. Детекторы рентгеновского излучения всегда имеют конечный размер, чем налагается еще один предел на разрешение данных измерений в ВТ. «Плотность», вообще говоря, изменяется с переменной [координатой, перпендикулярной плоскости так же как и с изменением переменных х и у, и поэтому, строго говоря, должна задаваться как функция трех переменных Следовательно, «плотность» под знаком интеграла в формуле (9.4) фактически «дискретизуется» в смысле определения, приведенного в § 11. Сама проекция, конечно, представляется в дискретном виде, поскольку детектор рентгеновского излучения имеет конечную площадь, а не просто конечную ширину. Если через обозначить выходной сигнал детектора рентгеновского излучения ВТ, оптическая ось которого лежит в плоскости х, у и проходит параллельно оси на расстоянии от нее, то из сказанного выше следует, что

где «функция отклика», или аппаратная функция детектора, если использовать терминологию, введенную в § 11. В тех случаях, когда величина в общем меньше величин формулу (25.2) можно переписать в виде

где эффективная одномерная функция отклика детектора в направлении ,

Нели функция измеряется при значениях , расстояние между которыми меньше эффективной ширины функции то функция определенная формулой (9.4), может быть в принципе восстановлена с произвольно высоким разрешением. Эти рассуждения не отличаются большой строгостью, но вполне здравы с точки зрения физики. Мы привели их, чтобы подчеркнуть, что задание (в идеализированной задаче трансмиссионной ВТ, поставленной выше) точек растра, расположенных на произвольно близком расстоянии друг от друга -направлении, не совсем абсурдно с физической точки зрения. Конечно, на практике точки растра вдоль оси разделены расстоянием, ненамного меньшим предела разрешения в -направлении. Но разрешение обычно в большей степени ограничено конечным числом проекций (см. замечание 2 выше), чем конечным размером детекторов.

Даже при указанных ограничениях формула (9.4) в обшем воспроизводит измеренные данные обычной ВТ (о чем свидетельствуют поразительные успехи последней и то, что формула (9.4) берется за основу при проектировании аппаратуры]. Конечно, формула (9.4) описывает и любую другую физическую систему, измеряющую интегралы от какой-либо двумерной величины вдоль прямых лучей. Примером может служить оптический телескоп с «длинным и тонким» зрачком и радиотелескоп в виде линейной решетки фазированных антенн. Оба телескопа принимают пучки лучей, узкие в направлении длины зрачка и антенной решетки (будем считать это осью и широкие в поперечном направлении (т.е. вдоль оси

Когда зрачок и антенная решетка правильно ориентированы, полная интенсивность излучения, принимаемого телескопом, пропорциональна интегралу от яркости по линии пересечения небесной сферы с этим пучком лучей («лепестком направленности»). Если наблюдаемый астрономический объект имеет эффективно конечный размер и его яркость равна то функция определенная формулой (9.4), может быть пропорциональна интенсивности принимаемого излучения

Из формулы (9.6) явствует, что одномерное преобразование Фурье функции относительно дает функцию вдоль одной прямой, проходящей через начало координат частотной плоскости под тем же углом к оси и, что и проекция к оси х на плоскости изображения.

Следовательно, одномерные преобразования всех проекций для углового интервала заполняют всю частотную плоскость, по крайней мерс до радиуса, устанавливаемого разрешением заданных проекций (см. выше замечания 2 и 3). Тогда требуемое изображение дается двумерным преобразованием Фурье функции

Хотя теория реконструкции изображений на основе преобразования Фурье, изложенная в предыдущем абзаце, полностью описывает путь решения идеализированной трансмиссионной задачи ВТ, она весьма далека от той процедуры реконструкции, которая в настоящее время почти всеми принята. Причины этого указываются в § 33. Здесь мы отметим только, что процедура, которая подразумевалась в предыдущем абзаце, дает оценку спектра на радиальной сетке, т.е. на прямых, исходящих из начала координат частотной плоскосги подобно спицам колеса, тогда как требуются отсчеты функций на прямоугольной сетке, т.е. в точках растра где целые числа, а а и 0 — постоянные значения, так чтобы функцию можно было эффективно вычислить методом БПФ (см. § 12).

Интересно, что некоторые варианты ЯМР-томографии дают опенки спектра на прямоугольной сетке (и в трех измерениях), так что в практике ЯМР-томографии можно пользоваться простым метолом реконструкции, основанным на преобразовании Фурье.

Теория реконструкции изображений на основе преобразования Фурье подходит также для обработки изображений, даваемых радиоастрономическими телескопами с синтезированной апертурой, которые фактически являются гигантскими интерферометрами Майкельсона. Однако в таких телескопах измерения проводятся в частотной плоскости. Идеализированная интерферометрическая задача ставится следующим образом: задана функция внутри окружности радиусом в частотной плоскости, требуется реконструировать функцию с разрешением, определяемым величиной Если исходные данные действительно столь идеальны, как подразумевается в идеализированной задаче, то ее решение тривиально: после соответствующей предварительной обработки, описанной в § 15, реконструкция функции осуществляется путем выполнения алгоритма БПФ. Но на практике, естественно, возникают трудности (см. § 33).