§ 37. Более полный метод обработки спекл-изображений — фазочувствительная интерферометрия

Основной метод обработки спекл-изображений, описанный в § 36, не учитывает фазы спектров заданных спекл-изображений. Цель различных видов обработки, рассматриваемых ниже, состоит в том, чтобы возможно полнее использовать информацию о фазе, содержащуюся в исходных данных.

Первый из таких методов обычно связывают с именами Нокса и Томпсона. Мы будем называть этот метод обработкой Нокса — Томпсона. При таком методе сначала выбирают вещественный

вектор удовлетворяющий условию

где символ означает «заметно меньше, чем». Модуль этого вектора на практике имеет очень важное значение по причинам, которые станут ясны ниже. Далее выполняют преобразование Фурье имеющихся данных точно так же, как и в метоле спекл-интерферометрии Лабейри. Но вместо усреднения спектральных интенсивностей, при котором теряется вся фазовая информация, содержащаяся в исходных данных, вычисляют величины

где [формула (34.11)]

причем величина лается формулой (37.5) с заменой на а величина формулой (37.6) с заменой на и .

Далее принимается

по тем же соображениям, что и в случае формулы (36.6). Из выражения (37.3) по аналогии с формулами (36.8) и (36.9) следует, что из значений можно построить фильтр Нокса — Томпсона для получения оценки на основе выражения [заметим, что левая часть равенства (37.3) необязательно вещественна].

Поэтому

так что оценка величины равна

Константа фильтра выбирается в соответствии с рассчитанными уровнями составных спектров шумов, входящих в формулы (37.2) и (37.3).

Заданные спекл-изображення подвергаются также обработке по методу Лабейри (см. § 36), что позволяет вычислить отсчеты квадрата спектра во всех нужных точках растра в частотной плоскости.

По в силу формулы (37.9) мы имеем

поскольку равна нулю, так как рассматриваемое изображение имеет вещественные значения (см. § 8). Следовательно, фаза сразу же находится из соотношения (37.10). Кроме того, мы имеем

откуда сразу же находится фаза поскольку все другие величины в формуле (37.11) уже известны. Следовательно, фаза находится рекурсивным методом при всех целых значениях при которых модуль заметно отличен от нуля.

Вся эта процедура повторяется с заменой вектора а ортогональным вектором сравнимой длины,

Таким образом значения фазы находятся рекурсивным метолом при всех необходимых целых значениях Вернемся теперь к формуле (37.9) и заметим, что

откуда следует, что фаза может быть рассчитана рекурсивно на прямоугольном растре частотной плоскости, определяемом векторами при целых значениях при которых модуль заметно отличен от нуля.

При обработке методом Нокса — Томпсона в силу рекурсивного характера процедуры ошибки должны накапливаться. Можно полагать, что ошибка в вычислительной фазе после рекурсий равна где величина зависит от уровня шума в заданных спекл-изображениях, от статистики среды, вносящей искажение, и от длин векторов а и Чем меньше значения и 1/31, тем большее значение должно быть взято для любой данной точки в частотной плоскости. Поскольку величина главным образом зависит от уровня шума, если значения а и не следует выбирать слишком малые значения . В то же время величина - становится все более независимой (статистически) от величины или, что эквивалентно, от величины откуда следует, что величина существенно растет со значениями вблизи верхних границ интервалов, указываемых в условиях (37.1) и (37.12). Поскольку на практике статистика искажающей среды никогда не бывает точно известна, значения и выбирают, руководствуясь своим опытом.

В литературе описано множество различных вариантов изложенного более полного метода обработки спекл-изображений (см. ссылки в вводных замечаниях к данной главе). Хотя некоторые из них сильно отличаются от обработки Нокса — Томпсона, все они имеют один недостаток: ошибка в вычислительной фазе растет с увеличением расстояния начала координат в частотной плоскости. К тому же обработка Нокса — Томпсона нисколько не сложнее этих методов как в описании, так и в реализации.

Рассмотрим теперь усложненную интерферомстрическую задачу видения (§ 34). Возьмем частный случай, когда

где любое целое число, вектор, удовлетворяющий условию Тогда из формул (34.12) и (34.13) следует, что

при условии, что усреднение проводится в течение достаточно длительного периода времени, гарантирующего, что уровень шума будет ниже любого заданного уровня. Полагая вначале величину у равной сначала а, а затем мы можем решить интерферометрическую задачу видения методом обработки Нокса — Томпсона. К сожалению, на практике обычно трудно реализовать эквидистантность элементов интерферометров, требуемую условием (37.14). Олнако часто оказывается возможным провести итерационную обработку (типа рассматриваемой в § 39) на основе формулы (34.13), которая иногда называется замкнутым выражением (клаузой) для фазы.

Чтобы проводить обработку на основе замкнутого выражения для фазы, конечно, интерферометрические наблюдения обязательно нужно выполнять с использованием фазочувствительного интерферометра (интерферометра Майкельсона). Так же как и в § 36, подчеркнем, что данные о фазе, полученные непосредственно с помощью фаз видности, обычно сильно отличаются от истинных фаз видности. Последние могут быть извлечены из измеренных данных после, во-первых, сложных калибровок, которые упоминаются в связи с интерферометрией интенсивностей в § 36, и, во-вторых, обширных расчетов типа рассматриваемых в § 39. Наконец, укажем, что результаты обработки Нокса — Томпсона могут быть улучшены, если при оценке каждой фазы исходить из начала координат частотной плоскости по нескольким возможным траекториям, приходящим в каждую точку Такой подход аналогичен частичной компенсации шума по методу наименьших квадратов в случае избыточного набора данных измерений.