§ 22. Вопросы единственности

В данном параграфе считается, что интервалы между первичными отсчетами модуля спектра удовлетворяют неравенствам (20.12) и, следовательно, можно восстановить автокорреляцию истинного изображения и рассчитать модуль спектра при произвольных значениях и. Это, конечно, эквивалентно утверждению о том, что автокорреляция имеет конечную протяженность. Теорема об ограниченности протяженности (8.15) гарантирует тогда, что

изображение с неотрицательными значениями тоже имеет конечные размеры.

Наш анализ целесообразно начать с одномерного случая. Предположим, что функция имеет конечную длину и протяженность, равную (см. § 7). Поскольку интервал между первичными отсчетами модуля спектра достаточно мал и делает возможным восстановление автокорреляции можно рассчитать множество нулей (см. § 13). Это множество удобно разбить на два так же, как и множество в формуле (13.12):

Из последнего абзаца § 13 [см., в частности, формулу (13.24)] следует, что множество должно иметь четное число 2М элементов, образующих комплексно-сопряженные пары, т. е. если величины

с вещественными значениями и положительными значениями принадлежат множеству то этому множеству принадлежат и величины Таким образом,

Поскольку

множество имеет элементов. Однако при любом нельзя определить, принадлежит ли множеству величина или т. е.

где величина равна либо либо -1. Заметим, что существует различных множеств В силу рассуждений, приведших к формуле (13.20), каждое из этих множеств, взятое совместно с выражением (22.5), соответствует изображению длиной Если конкретное значение +1 или -1 при каждом значении то множества соответствуют изображениям, имеющим одну и ту же форму, поскольку каждое изображение одного из этих множеств есть зеркальная копия изображения из другого множества, что явствует, например, из выражения (13.7), если его переписать для функции Таким образом, в соответствии с множеством определенным формулой (22.3), существуют, вообще говоря, различных форм изображения при условии, что ни одно из значений не равно 0 или Хотя все эти формы изображения должны быть вещественными, не все из них обязательно должны иметь неотрицательные значения. Но, вообще говоря, можно ожидать, что более одного изображения будут иметь неотрицательные значения.

Следовательно, одномерная фазовая задача, вообше говоря, не имеет единственного решения.

Если заменить функцию в § 13 функцией то можно считать, что неопределенность, выражающаяся в наличии нескольких изображений, совместимых с заданным модулем спектра связана с полиномом , введенным в формуле (13.11). В силу основной теоремы алгебры полином можно представить в форме произведения сомножителей вида Величина каждого такого сомножителя, рассматриваемого как функция переменной и. остается прежней при замене значения значением Этот аспект данной фазовой задачи полностью изменяется в двумерном случае, хотя двумерный спектр, т. е. где две разные комплексные переменные, можно представить в соответствии со схемой (13.9) — (13.11), но с необходимыми изменениями, такими, как замена функции функцией д. Кроме того, полином следует заменить на . Основная теорема алгебры не выполняется в двумерном случае и в случаях большей размерности. Болес того, многомерные полиномы, как правило, не разлагаются на множители. Поэтому решения многомерных фазовых задач в частотной плоскости оказываются единственными во всех случаях, кроме специальных, не имеющих практического значения. Такой вывод весьма приятен для тех, кто занимается разработкой итерационных схем восстановления фазы, описываемых в § 23, но соотношение между фазой спектра и модулем спектра остается неизвестным. Этот вопрос исследуется ниже.

Прежде чем приступать к двумерной фазовой задаче, поставленной в § 20, рассмотрим вспомогательную фазовую задачу, которая ставится следующим образом: заданы отсчеты модуля спектра в точках ( частотной плоскости, где произвольное целое неотрицательное число, а целые числа, изменяющиеся, вообше говоря, от до требуется восстановить форму изображения зная, что точки растра расположены достаточно близко друг от друга и, следовательно, модуль спектра можно точно восстановить по ним при любых значениях и и что функция определяется следующим образом:

где с функция, введенная в формуле (10.7), а функция окна:

С учетом сказанного в последнем абзаце § 10 имеем

Кроме того, мы видим, что функция с имеет ненулевые значения только в одной половине каждого из четырех кадров и и только в одной четверти каждого из четырех кадров ±1. Заметим также, что

Поскольку функция определена соотношением (10.7) как имеющая нулевые значения в каждом кадре то

откуда следует, что вне кадра в пределе при так что

Введем обозначение

Тогда на основании выражения (22.7) с учетом формул (6.3) и (6.4) можно написать

Чтобы упростить последующие выражения, введем обозначения

Из формул (22.6), (22.12) — (22.14), теоремы о свертке (7.3) и формул (10.8) — (10.10) следует, что

поскольку произвольная одномерная свертка с дельта-функцией сводится к следующему простому виду:

На основании выражений (22.13) — (22.15) с учетом формулы (6.4) получаем

где для удобства в последующем анализе введены вещественные неотрицательные константы и вещественные константы называемые здесь фактическими отсчетами амплитуды и фактическими отсчетами фазы.

Возвращаясь к вспомогательной фазовой задаче, поставленной выше, получим из формулы (22.15), что величины (22.17) — (22.19) соответствуют исходным данным. Для удобства разобьем эти заданные отсчеты на три множества, элементы которых будем называть фактическими отсчетами промежуточными отсчетами вдоль строк и промежуточными отсчетами вдоль столбцов причем

Значения определяются формулой (22.19). Фактические отсчеты называются так потому, что лишь они требовались бы для восстановления при любом и, если бы имелись фактические отсчеты фазы. Каждый промежуточный отсчет находится посередине между двумя фактическими отсчетами, либо между двумя строками, либо между двумя столбцами (соответственно верхним индексам и фактического растра, который представляет собой массив фактических точек растра

Из выражений (22.17) — (22.20) следуют простые формулы

Но функция имеет неотрицательные значения, что следует из формулы (10.7) и неотрицательности значений функций определение (22.7)]. Тогда в силу определения (6.12) преобразования Фурье величина неотрицательна, а значит,

Напомним о двойной неопределенности аргумента любой тригонометрической функции; например, если задана величина то величина в отсутствие дополнительной информации является неопределенной, так как заданному значению величины удовлетворяют два значения . Поэтому, подставляя формулу (22.23) в формулу (22.21), имеем

где — арккосинус вещественного числа, который можно сразу вычислить по исходным данным вспомогательной фазовой задачи (подчеркнем, что все величины вводимые ниже, можно рассматривать как исходные данные). Коль скоро требуется найти только форму изображения можно выбрать, скажем, неотрицательное значение , поскольку это эквивалентно выбору или а обе эти функции соответствуют одной и той же форме изображения (см. § 20). Далее предполагается, что

Введем теперь компактные обозначения точек растра: через будем обозначать точки фактического растра а через промежуточные точки растра вдоль строк и вдоль столбцов. Рассмотрим единичную ячейку в частотной плоскости, состоящую из точек растра и . Формула (22.24) выражает связь между заданными отсчетами в точках растра и Еще три соотношения, связывающие между собой отсчеты в точках растра и в силу формул (22.21) и (22.22) таковы:

где правые части равенств есть выражения (22.21) и (22.22), которые, как уже говорилось выше, эквивалентны исходным данным. Используя формулу (22.25) и исключая величину из соотношений (22.26), получаем

При условии

возможно только одно «соответствие» между величинами в правых частях соотношений (22.27) и (22.28); например, если то величина не может равняться ни одной из трех величин, входящих в правую часть равенства (22.28). Нарисовав фазорную диаграмму, соответствующую соотношениям (22.26), читатель наглядно убедится в правильности сделанных выше выводов.

На практике, котла все измерения неизбежно сопровождаются шумом, точные равенства невозможны. Поэтому, естественно, ни одно из двух равенств (22.28) не может точно выполняться. Но одно из них всегда выполняется точнее другого. Следовательно, хотя значение нельзя найти «точно», для него всегда возможна однозначная приближенная опенка.

Отметим еще одни практический момент. При большом уровне шума в данных величины (22.21) и (22.22) могут быть больше единицы. В таких случаях мы не вводим углы комплексной фазы; мы просто принимаем, что разности равны или когда величины (22.21) и (22.22) больше или меньше

Из изложенного в предыдущих трех абзацах следует, что можно найти (или, правильнее, приближенно оценить) величину 0, 1 единственным образом. Подставляя выражения (22,28) в (22.26), получаем

Здесь снова фактически возможно только одно «соответствие», так что величина находится однозначно.

Вышеприведенный анализ показал, что при заданных фактических отсчетах фазы в двух смежных углах единичной ячейки и фактические отсчеты фазы в других двух углах могут быть определены непосредственно. Рассмотрим теперь единичную ячейку, состоящую из точек растра . Значения фазы известны в угловых точках и так что фазы в угловых точках и находятся по изложенной выше методике. Следовательно, все фактические отсчеты фазы можно оценить рекурсивным методом по соответствующим парам. Таким образом, вспомогательная фазовая задача имеет единственное решение.

В принципе величины могут быть сколь угодно малыми, а число что эквивалентно, сколь угодно большим. В пределе при функция стремится к функции [формула (22.11)], так что спектр стремится к спектру Следовательно, при возрастании числа исходные данные вспомогательной фазовой задачи стремятся к исходным данным фазовой задачи в частотной плоскости. Таким образом, фазы фактических отсчетов могут быть найдены с помошью рекурсивной процедуры, описанной выше.

Итак, существует только одна форма изображения, совместимая с заданным модулем спектра по крайней мере если последний получен в реальных измерениях. Конечно, при наличии неизбежного шума восстановленная форма изображения будет иной, нежели в идеальном случае, когда шум отсутствует, но результат восстановления будет единственным.

В связи с этими рассуждениями о единственности решения фазовой задачи отметим еще два момента. Во-первых, они перестают быть справедливыми, если рассматриваемое изображение может быть представлено в виде произведения функции переменной на функцию переменной у, поскольку модуль спектра записывается тогда как произведение двух одномерных функций спектральных интенсивностей, например:

Идеальная факторизация такого рода невозможна на практике, а потому данный случай представляет интерес только с теоретической точки зрения. Во-вторых, проведенные рассуждения легко обобщаются на случай любой размерности, так что решения А-мерных фазовых задач в частотной плоскости почти всегда единственны, если

Поскольку в реальных расчетах число не может быть сколь угодно большим, простой рекурсивный алгоритм, введенный в данном параграфе, сам по себе не гарантирует достоверного восстановления практических форм изображений. Но, как объясняется в § 23, этот алгоритм играет центральную роль в комбинированной схеме восстановления фазы, применимость которой весьма широка.