§ 17. Субтрактивная деконволюция

Любую функцию можно представлять себе как набор «импульсов». В частности, истинное изображение можно записать в виде

где кадр изображения, введенный в § 7, а двумерная дельта-функдия, определенная соотношениями (6.18)-(6.21). Часто, особенно в компьютерных вычислениях, приходится приближенно представлять изображение его отсчетами, или элементами изображения (см. § 5), на прямоугольном растре точек согласно формуле

Все величины, фигурирующие здесь, нам знакомы (см. § 12, первый абзац).

Если заменить функцию функцией в среднем выражении в соотношении (17.1), то оно приобретет вид выражения (14.1). Таким образом, приближенная формула функции соответствующая формуле (17.2) для функции такова:

Умножив обе части полученного равенства на и проинтегрировав по плоскости изображения, получим

где эффективные и у-протяженности кадра соответственно, а отсчеты функций определяются в виде

Если включить шум, как в формуле (14.9). то формула, эквивалентная формуле (17.4), представится в следующем виде:

где кадр дискретизованного изображения ФРТ, характеризуемый целыми числами

Каждое значение можно рассматривать как «идеальный импульс», поскольку это один элемент изображения. Аналогично при фиксированных значениях и при величину можно рассматривать как «размытый импульс», поскольку это некий набор элементов изображения. Тогда для решения практической задачи деконволюции (см. § 14) элементы изображения, представляющие данные (т. е. значения ), могут быть компенсированы до «уровня зашумленности» путем последовательного «вычитания» по одному всех размытых импульсов. Тем самым осуществляется субтрактивная деконволюция. Ввиду того что на

практике уровень шума пиксида не бывает пренебрежимо малым, конечно, невозможно полностью скорректировать каждый размытый импульс в результате одной операции вычитания. Применяя же постепенную компенсацию, шаг за шагом, можно получить вполне приемлемые результаты.

Субтрактивная деконволюция лает особенно хорошие результаты, если изображение состоит из изолированных неразрешимых точек, т. е. влияние сводится в основном к уменьшению контраста, а не разрешения. Типичным примером может служить случай радиоастрономического телескопа с синтезированной апертурой, используемого для наблюдения области небесной сферы, в которой имеются яркие радиозвезды. Последние часто имеют малые угловые диаметры, и основной лепесток диаграммы направленности радиотелескопа, эквивалентный ФРТ , хотя и является достаточно узким для разделения изображений звезд, обычно маскируется наличием очень значительных боковых лепестков. Последние приводят к искажениям мелких деталей в фактически записанном изображении В случае телескопов с синтезированной апертурой измерения производятся в частотной плоскости, поскольку такие телескопы представляют собой интерферомстрнческне устройства, см. гл. 6. Так как преобразование Фурье — линейная операция, реальные измерения можно рассматривать просто как альтернативное представление изображения при условии, что к данным измерений непосредственно применяется преобразование Фурье, без какой-либо предварительной обработки. Как показал наш опыт, лучше всего сразу же выполнять субтрактивную деконволюцию, без какой-либо предварительной обработки (в том смысле, в каком этот термин употребляется в § 15). (Имеется целый ряд соображений, на которых мы здесь не будем останавливаться, против попыток подвергать предварительной обработке в том же смысле слова радиоастрономические, ннтерферометрические, данные.) Прототипом субтрактивной деконволюции является простой алгоритм «очистки» Хётбома, который представляет собой итерационную процедуру. Восхитительная терминология Хёгбома очень хорошо выражает суть его алгоритма.

Поскольку предварительная обработка отсутствует, в качестве предварительно обработанного записанного изображения берется фактически записанное изображение . Элементы изображения содержащие принадлежат искаженному изображению, поскольку искаженное и зашумленное изображение. Мы хотим получить «очишенное» изображение, соответствующее изображению, которое называлось в § 14 восстановимым истинным изображением. Обозначим элементы очищенного изображения через Перед

применением алгоритма значения полагаются равными нулю.

Величины постепенно приобретают свои значения по мере того, как из искаженного изображения извлекается соответствующая информация. Итерации характеризуются неотрицательной константой называемой петлевым усилениемкоторая обычно считается намного меньшей единицы. Оценка с среднего значения величины (величину с будем называт здесь уровнем зашумленности) должна быть известна. Рассматриваемый алгоритм содержит следующие этапы.

1. Находится наиболее яркий элемент изображения в искаженном изображении, такой элемент, что

2) Новое очищенное (скорректированное) изображение находится путем операции сложения:

3. Повое искаженное изображение находится с помощью операции вычитания:

4. Процедура возвращается к этапу 1, если не выполняется условие

5. Очишенное (скорректированное) изображение свертывается с очищенной имеющей сглаженный основной лепесток и сильно уменьшенные боковые лепестки — это по существу «косметическая» операция (разновидность «сглаживания»), применяемая к очищенному изображению с целью получения изображения наиболее близкого к восстановимому истинному изображению.

Рассмотрение интерполяционных свойств алгоритма Хёгбома [см. § 11, следующий абзац после формул (11.15) и (11.16)] завело бы нас очень далеко. Однако процедура интерполяции на основе субтрактивной деконволюции является основной для успешного составления радиоастрономических карт. Заинтересованного читателя отсылаем к соответствующей литературе, указанной в вводных замечаниях к данной главе.

Простая процедура «очистки» неэффективна, если изображение не имеет импульсною характера, т. е. если изображение обычною вида! Однако существует сходный метод, называемый методом субтрактивного повторного искажения, который позволяет

успешно восстанавливать очень широким класс искаженных изображении. При описании этого метола удобнее вернуться к непрерывному представлению изображений. Можно было бы без особого труда оставить и дискретное представление (через элементы изображений), но получающиеся тогда выражения были бы менее изящными.

Необходимы последовательности повторно искаженных записанных изображений и последовательности вычисленных истинных изображений. Каждое повторно искаженное записанное изображение определяется через соответствующее предшествующее изображение следующим образом:

при

Здесь кадр предварительно обработанного записанного изображения. см. § 14. Положительная (меньшая единицы) константа как и выше, называется петлевым усилением. Последовательные вычисленные истинные изображения связаны между собой соотношением

где Далее определяется разностное изображение

Итерационный процесс останавливается при таком числе итераций при котором

Искомое истинное изображение определяется как вычисленное истинное изображение на итерации:

Для удобства введем оператор который определяется следующим образом:

Теперь соотношение (17.12) можно представить в виде

и тогда выражение (17.4) в операторной форме записывается так:

При условии, что существует оператор, обратный оператору выражение (17.20) можно рассматривать как конечную геометрическую прогрессию т. е.

Если

где норма оператора

откуда следует, что

то мы имеем

и, значит,

Поскольку нет смысла проводить итерации ниже уровня зашумленности, можно положить

причем символ здесь означает «практически равно». Из соотношений (14.9) и (17.1 К) следует, что

В идеализированном случае, когда шум пренебрежимо мал (т. е. функция будет равняться свертке так что операторное представление простого инверсною фильтра (см. § 16, первый абзац). В практических случаях, в которых нельзя пренебрегать шумом операторное представление винеровского фильтра [см. абзац, содержащий формулы (16.5) и (16.6)], откуда следует, что

где функция, обратная модифицированной введенной в § 34. Поскольку

имеем

Процедура субтрактивного повторного искажения, как правило, дает хорошие результаты, но является дорогостоящей в вычислительном отношении. Алгоритм же простой «очистки» весьма прост в

вычислитсльном отношении, но дает эффект лишь для очень ограниченного класса изображений. При большой зашумленности простую инверсную фильтрацию следует заменить винеровской фильтрацией. Алгоритм простой «очистки» и простая инверсная фильтрация основываются на заданной или, что эквивалентно, на ее обратной величине Винеровская фильтрация эквивалентна свертке функции Отсюда следует, что алгоритм простой «очистки» может быть улучшен, если произвести в формуле (17.10) замену

Из пила выражений (16.5) и (17.31) явствует, что

где

Во многих случаях функция занимает большую область частотной плоскости, чем функция Кроме того, величина обычно меньше вблизи начала координат в частотной плоскости, а не вдали от него (она, конечно, убывает и далее). Поэтому основной лепесток функции обычно более узкий, чем функции но имеются несколько довольно больших боковых лепестков. Таким образом, функция часто имеет форму функции с налагающимися на нее осцилляционными «выбросами». Эти выбросы стабилизируют операцию «очистки» даже в том случае, когда истинное изображение представляет собой плавно изменяющуюся функцию переменной х (т. е. совершенно не имеющую импульсного характера). Поэтому алгоритм простой «очистки» можно заменить алгоритмом модифицированной «очистки», который состоит из тех же этапов 1—5, но с заменой (17.32).