§ 32. Итерационный метол реконструкции изображений

В методах, с помощью которых в предыдущих параграфах данной главы исследовались различные задачи ВТ, подчеркивалось, что прямые решения могут быть построены, только если решаемые задачи соответствующим образом идеализированы. Хотя получающиеся “упрошенные” решения оказываются полезными в ряде важных практических приложений (и фактически идеализированная задача трансмиссионной ВТ, поставленная в § 25, является теоретической основой недавнего преобразования диагностической радиологии, произведенного рентгеновской необходимо проводить работу по их улучшению.

Идеализированные решения нельзя улучшить непосредственно. В каждом случае необходимо использовать итерационный подход. Необходимо иметь некоторую физическую модель, обозначаемую здесь через на основе которой можно рассчитать данные измерений при известной форме истинного изображения. Рассмотрим характеристики модели которые приложимы к частным задачам, упомянутым в предыдущих разделах.

У жестчение излучения (см. § 25). Модель имеет две важные составные части. Первая — энергетический спектр (или спектр временных частот) рентгеновского излучения. Вторая — изменение с плотностью тела коэффициента ослабления рентгеновского излучения, зависящего от частоты (напомним, что ослабление определяется в основном комптоновскнм рассеянием, а не простым поглощением). При заданном распределении плотности вдоль конкретной траектории луча интенсивность выходящего рентгеновского пучка может быть точно рассчитана.

Коррекция коэффициента ослабления для ОЭВТ (см § 26). Значительную часть модели составляет распределение плотности среды, в которую введены радиоактивные изотопы. Эти данные могут быть получены только путем предварительных измерений методом рентгеновской трансмиссионной ВТ с фотонами в полосе частот, центрированной при частоте фотонов, испускаемых радиоактивными источниками.

Интерполяция (см. § 29). Большинство методов, перечисленных в первых трех предложениях абзаца, содержащего условие (29.13), являются существенно итерационными (например, в этом контексте часто обращаются к методу максимальной энтропии, который упоминался в §§ 15 и 18 и в вводных замечаниях к гл. 4). Из модели часто следует явное выражение для конкретного алгоритма, разработанного для

того, чтобы сделать каждую итерацию изображения как можно более согласованной с заданными проекциями, хотя может быть включена и любая априорная информация (напримюр, условие неотрицательности значений изображения).

Разностные проекции (см. § 31). Модель основана на существенных допущениях. Во-первых, предполагается, что амплитуда изображения является фактически кусочно-постоянной. Во-вторых, считается, что задано лишь небольшое число проекций (так что реконструированные изображения оказываются сильно зашумленными артефактами типа полосчатости). В-третьих, делается предположение о том, что границы и амплитудные значения областей постоянной амплитуды можно оценить так, как показано в § 31.

Искривление лучей (см. § 31). Модель основана на двух существенных допущениях. Во-первых, выполняется оценка по заданным проекциям распределения показателя преломления в данном сечении. Во-вторых, производится расчет траекторий лучей по такому распределению показателя преломления.

Подчеркнем, что модель видимо, не всегда эффективна. Например, если проекция определена с использованием искривленных лучей, то последние могут изгибаться в сторону от плоскости сечения, откуда следует, что выражение (31.1) не является адекватным описанием. Очевидно, что исправить такую ситуацию нельзя, если измерения производятся только в плоскости На практике эта трудность преодолевается путем применения детекторов, размер которых в направлении, перпендикулярном плоскости больше, чем в самой этой плоскости. При этом существенно ухудшается разрешение, но зачастую ничего другого не представляется возможным сделать.

Все итерационные схемы сводятся к следующей последовательности этапов. Методом модифицированной обратной проекции (см. § 33) по известным данным реконструируется оценка изображения. Затем используется модель для того, чтобы оценить несогласованность реконструированного изображения с известными данными. Далее опять используется модель для преобразования заданных проекций с целью сделать их совместимыми с идеализированной моделью, даваемой выражением (9.4), в котором функция под знаком интеграла заменена оценкой Затем путем применения метода модифицированной обратной проекции к преобразованным проекциям реконструируется новый вариант изображения Обращаются к модели для получения новой системы преобразованных проекций. Итерационный процесс должен продолжаться до тех пор, пока разности между последовательными вариантами оценки не

станут меньше некоторого принятого порога, который связан с шумом в используемых данных и неопределенностями в модели

Ни для одной из перечисленных итерационных схем не гарантируется сходимость. Более того, установлено, что некоторые из этих схем вначале сходятся, а затем очень сильно расходятся. К тому же большинство итерационных схем в вычислительном отношении являются очень дорогостоящими. Тем не менее ряд таких схем представляет практическую ценность (см. работы, цитированные в вводных замечаниях к данной главе). Когда следует использовать итерационные методы и сколько итераций необходимо выполнить, — это можно решить только исходя из опыта практических вычислений.