Пример 4. Восстановление фазы

Изображение а это простос изображение, имеющее характер изолированной группы звезд. Если модуль спектра этого изображения объединить с грубой оценкой его фазы (при [см. абзац, содержащий формулу (23.11). и предшествующий ему абзац), то с номошыо преобразования Фурье можно получить изображение 6. Хотя изображение далеко от успешного восстановления изображения а, оно может быть взято за основу для дальнейшей обработки.

Результаты в и реконструкции исходного изображения а получены после одного цикла Файнапа (см. последний абзац § 23) с Начальная фазовая функция [см. абзац, содержащий формулу (23.12), и предшествующий ему абзац] является псевдослучайной для изображения в и фубой фазовой оценкой для изображения Оба результата реконструкции могут быть, конечно, существенно улучшены за счет повторения циклов Файнапа. Однако сравнение изображений показывает, что лучше начинать с грубой фазовой оценки, чем с псевдослучайной фазовой функции.

Изображение пример изображения, которое может быть сразу же восстановлено с номошыо голографического подхода со смешенным опорным участком в частотной плоскости [см. абзац, содержащий формулу Изображение это модуль спектра изображения с). Поскольку все изображения в данном примере имеют вещественные значения, модули их спектров симметричны относительно начала координат в частотной плоскости (формула (8.2)]. Поэтому достаточно воспроизвести только половину каждой картины, даюшей модуль спектра. Соответственно этому на изображениях начало координат в частотной плоскости лежит в средней точке левого края. «Центральный лепесток» каждого спектра имеет центр в начале координат. Квадрат

изображения можно рассматривать как голограмму, поскольку его фурье-образ есть автокорреляция июбражения Наиболее заметная система полос на изображении соответствует «интерференции» между двумя разделенными частями изображения Другие, менее эаметные полосы обусловлены структурой большей из двух разделенных частей изображения д. «Вуаль», на которую налагаются три «звезды» в большей «детали» изображения не лает существенного вклада в картину полос, хотя вуаль, конечно. неявным образом участвует в легальном распределении яркости на изображении Изображение но автокорреляция изображения г): оно состоит по крайней мере из трех раздельных частей, характерных для голографического подхода частотной плоскости. Центральная часть этого изображения содержит автокорреляции двух раздельных частей изображения Две внешние и изображения представляют собой взаимные корреляции двух частей изображения Как нетрудно видеть, левая внешняя часть сходна с большей деталью изображения г). Предположим, что форма меньшей детали на изображении известна априори, т. е. это заданный опорный участок (см. § 21, второй абзац). Тогда, удалив путем мультипликативной деконволюции (например, методом винеровской фильтрации, см. § 16 и пример 3) опорный участок с изображения можно получить достоверную копню большей детали июбражения О.

Заметим, большее пятно на изображении состоит из деталей, наложенных на фоновую «вуаль», т. е. представляет собой изображение, которое трудно достоверно восстановить путем непосредственного приложения итерационного алгоритма Файнапа (см. § 23). Наличие вуали несущественно (если только не превзойден имеющийся динамический диапазон), изображение состоит из двух частей, удовлетворяющих условию разделяющего смещения (21.6). Две части изображения удовлетворяют этому условию. В более общем случае, например при восстановлении изображения з, следует выполнить операцию устранения вуали [см. тексг, относящийся к формулам (23.8) и

Изображение — это модуль спектра изображения з. Как нетрудно видеть, центральный лепесток гораздо ярче остальной части спектра. Изображение к получено из изображения и в результате грубой фазовой оценки и одного итерационного цикла Файнапа Заметим, что летали, имеющиеся на изображении з плохо видны на изображении хотя был применен столь большой цикл Файнапа. Но эти детали легко могут быть восстановлены, если устранить вуаль из спектра до восстановления что демонстрируется ниже.

Изображение это спектр с устраненной вуалью изображения з. Внешние (по отношению к центральному иягну) полосы спектра теперь гораздо лучше видны (динамический диапазон воспроизведения тот же самый, что и в случае изображения и). Изображение получено метолом оценки фазы из спектра Здесь очень мало сходства с изображением з. но изображение ограничено приблизи гельно той же самой областью, что и изображение к, причем по качеству оно сравнимо с изображением к. На основе фаты спектра, соответствующей изображению и модуля спектра за счет одною цикла Файнапа с темн же параметрами, что и в случае изображения к, было получено изображение н. Детали, которые налагались на «вуаль» на изображении видны на изображении н. Качество изображения н намного выше, чем изображения к, что говорит о большой эффективности процедуры устранения вуали. Путем повторного устранения вуали и применения дополнительных циклов Файнапа можно получить еще более верное восстановленное изображение.

Последняя ссрня изображений показывает, как методы предварительной обработки, описанные в § 23 (второй — пятый абзацы), могут снизить влияние шума, имеющегося в заданном модуле спектра. Исходное изображение о взято достаточно простым, чтобы можно было продемонстрировать преимущества предварительной обработки, не усложняя вопрос процедурой устранения вуали. Изображения пир — это автокорреляция и модуль спектра изображения о. Изображение с — тот же модуль спектра с

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

наложенным на него шумом (генерированным программой псевдослучайных чисел), среднеквадратичный уровень которого весьма значителен — 10% модуля спектра в начале координат частотной плоскости. Отмстим, что на изображениях рис представлен полный модуль спектра (в отличие от изображений на которых показана только полуплоскость модуля спектра). Изображение это фурье-образ квадрата модуля спектра с. Прямоугольный кадр на изображении наша опенка О влиянии шума на модуль спектра можно судить по изображению у, на котором представлена (усиленная в 4 раза) разность изображения и части изображения ограниченной прямоугольным кадром.

Изображение это (усиленная в 4 раза) разность изображения с и квадратного корня из спектра изображения. Если спектр с рассматривать как исходные данные (а такие данные могут быть получены в результате измерений), то по изображению можно сулить о том, насколько изменяются данные в результате предварительной обработки, описанной в § 23.

Изображением иллюстрируется максимум возможной компенсации шума, имеющегося в заданном модуле спектра. Изображение х получено методом грубой фазовой оценки из модуля спектра изображения . В нем совершенно невозможно узнать изображение о, но оно сконцентрировано в области, по плошали примерно равной кадру изображения Оно значительно больше сосредоточено, чем изображение полученное метолом грубой фазовой оценки из необработанного модуля спектра (из изображения с). Изображения получены путем применения однократных единичных итерационных циклов Файнапа из изображений соответственно. То. что изображение является более верной копией изображения о, чем изображение говорит об эффективности наших методов предварительной обработки.

Следует подчеркнуть, что изображения, взятые для данного примера, довольно примитивны в сравнении с теми изображениями, которые были опубликованы в наших журнальных статьях в период подготовки книги к печати. Мы сочли более целесообразным с предельной наглядностью пояснить все изложенное, нежели демонстрировать максимально возможную эффективность наших алгоритмов (которая, конечно, непрерывно повышается).