§ 31. Искаженные проекции

На практике проекции никогда не бывают идеальными. Хотя в предыдущих параграфах данной главы упоминались различные возможные искажения, они для нас второстепенны. Наиболее важное

значение в данной главе имеют рассматриваемые в данном параграфе искаженные проекции.

С распространением макроскопического, волнового движения (например, радиоволн, ультразвука, микроволн, акустических и сейсмических волн) обязательно связана дифракция, если длина волны не очень мала сравнительно с масштабом всех существенных неоднородностей в среде распространения. Тем не менее распространение волновых фронтов в неоднородной среде часто можно с приемлемой точностью описывать на основе представления о “лучах”, даже если линейные размеры типичной неоднородности лишь немного больше длины волны. Лело в том, что, хотя при анализе рассеяния и в значительной мере процессов отражения и реверберации нельзя обойтись без учета дифракции, для объяснения процесса распространения волнового фронта достаточно лишь закона преломления. Дифракцией можно почти полностью пренебречь в случае рентгеновских и гамма-лучей, которые фигурируют в различных приложениях, рассмотренных в предыдущих параг рафах данной главы. (Интенсивность дифрагированного рентгеновского пучка очень мала по сравнению с интенсивностью падающею пучка, что делает достижения рентгеновской кристаллографии еще более замечательными!)

Когда речь идет о “реконструкции изображений по проекциям” в случае рентгеновского и гамма-излучения, их распространение всегда можно характеризовать прямыми лучами. Многие среды, в которых возможно макроскопическое волновое движение, характеризуются значительными изменениями показателя преломления, что соответствует искривлению лучей. Конечно, может быть все же измерен некий эквивалент проекции. Например, можно оценить время, которое требуется для того, чтобы импульс прошел по сечению (это ласт так называемую проекцию задержки), или зарегистрировать ослабление импульса (что дает более привычный вариант проекции). Однако искривление луча приводит к искажению проекции в том смысле, что ее уже нельзя более описывать интегралом вдоль прямой линии. Определим искаженную проекцию под углом как

где траектория луча от определенного источника до соответствующего приемника, расположенного на том же расстоянии от оси элемент расстояния вдоль этой (искривленной) траектории. Изображение может соответствовать распределению показателя преломления или коэффициента ослабления среды,

передаюшей волновое движение, в плоскости сечения. Интеграл (31.1) сводится к выражению (9.4), если траектория луча — прямая линия. Некоторые следствия формулы (31.1) рассматриваются в § 32.

Иногда истинное изображение существенно изменяется за время, затрачиваемое на измерение полного набора заданных проекций. Так обстоит дело в обычных системах рентгеновской компьютерной томографии при регистрации изображения сечения грудной клетки. Иногла можно уменьшить влияние изменений, обусловленных дыханием, путем применения, например, соответствующих медикаментов или задержки дыхания (достаточно здорового) пациента, но никак невозможно избежать изменений плотности, вызванных сокращениями сердечной мышцы пациента. Во всех случаях, когда имеют место значительные движения частей тела в период сбора данных проекции, распределение “плотности” в сечении изменяется с изменением угла проекции. Искаженная проекция под углом о дастся тогда выражением

а не выражением (9.4).

Формулу (31.2) полезно переписать и виде

где проекция, даваемая выражением (9.4), причем - “усредненное изображение” то изображение, которое получалось бы, если бы не указанное выше движение), а разность проекций. определяемая выражением

Экспериментатор может не знать об изменениях плотности. Или же он может, зная об этих изменениях, не знать алгоритма коррекции связанных с ними искажений. В обшем случае единственный приемлемый способ — это рассматривать заданные проекции как идеальные при формировании реконструированного изображения По аналогии с теоремой о проекции (9.5) [или (9.6)] отсюда следует, что оценка спектра записывается в виде

Существуют два основных типа артефактов, связанных с вариациями плотности. Первый вид артефактов имеет место, когда изменяется плотность стационарной части сечения. Если на изображении

обнаруживается граница такой части, то то же самое можно сказать и об оценке изображения . Человеческий глаз нередко успешно выделяет такую границу из систем полосок, связанных с наличием слагаемого в формуле (31.3). Конечно, этого нельзя “доказать математически”, но тем не менее это так! Такое доказательство, должно быть близко связано с рассуждениями в § 29 о том, почему И обычно оказывается хорошей оценкой но мы подобного доказательства предложить не можем.

Второй тип артефактов, связанных с вариациями плотности, мы имеем, когда перемешается некая часть сечения, но распределение плотности в самой этой части не изменяется. Поскольку изображение линейно входит в проекционные интегралы [см. формулы (9.4), (31.2) и (31.4)], данный вид артефактов можно полностью описать, рассматривая одну точку (один элемент изображения) в пределах сечения. Поскольку не имеет значения, где расположена рассматриваемая точка, мы без потери обшности можем исследовать изображение этой конкретной точки

или в случае, когда точка перемешается,

где произвольные вещественные функции угла о. Подставляя выражение (31.7) в формулу (31.2), получаем

так что перемещение, параллельное лучам, не вводит какого-либо искажения. Тогда из формулы (31.5) явствует, что оценка спектра функции дается выражением

Применив обратное двумерное преобразование Фурье к получим функцию , которую можно рассматривать как ФРТ, описывающую искажение указанной выше точки, связанное с перемещением. Из выражения (31.9) нельзя вывести ничего существенно полезного в обшем случае. Конечно, специальные случаи могут быть рассчитаны численно, и результаты указывают на то, что искажение размывается по площади, близкой той, которая покрывается при перемещении данной точки. Это согласуется с практическим опытом, который говорит о том, что артефакты, связанные с движением, ограничиваются областью, где локализован процесс движения, при условии, что движение является сложным или нерегулярным, или

(квази) хаотическим. Хороший пример этого — нормальное циклическое движение бьющегося сердца в его полости. Наряду с регулярными сокращениями оно еще и нерегулярно колеблется (почти “скрипя” в некоторых случаях) при перекачке через него крови, а относительное движение нескольких крупных сосудов оказывается достаточно сложным. Вследствие этого формируемые в обычной рентгеновской ВТ изображения сечений грудной клетки, проходящих через сердце, характеризуются более или менее равномерным “искажением” в пределах области, занимаемой сердцем, но вне этой области какой-либо артефакт, связанный с движением, появляется редко. Некоторые простые регулярные движения могут приводить к появлению сильных артефактов, в особенности если движения резко начинаются и кончаются. (“Плавность” движения, возможно, более важна, чем его “простота”, в вопросе артефактов, связанных с движением”; см. пример 5.) Другая интересная особенность изображений, реконструированных по проекциям объектов, части которых находятся в движении, состоит в том, что слабое истинное изображение может проглядывать сквозь искажение, если движение происходит не во всем интервале времени, в котором проводится сбор проекционных данных. Этим могут объясняться поразительные клинические успехи рентгеновской вряд ли пациенты могут задерживать дыхание столь долго, сколь этого требует очень уж упрошенный анализ причин возникновения артефактов, связанных с движением. Отсюда следует вывод, что возможна успешная реконструкция всех частей изображения, расположенных не в непосредственной близости от частей, которые находятся в движении.

Основные положения § 29 и 30, а также вышеприведенного обсуждения артефактов, связанных с вариациями плотности, привели к разработка простого, но эффективного алгоритма реконструкции изображений работающего сердца. При измерении проекций должна регистрироваться электрокардиограмма пациента (ЭКГ), чтобы можно было установить, какие проекции соответствуют различным периодам сердечного цикла. Рассматриваемый алгоритм проводит как бы изъятие сердца из его полости и реконструирование его изображения отдельно для каждого периода. Таким образом, этот алгоритм подобен церемониям ацтеков, но компьютер “добрее" древних обитателей Центральной Америки, поскольку “возвращает” сердце неповрежденным на место!

Задача получения изображения работающею сердца осложняется тем, что эффективная плотность крови мало отличается от плотности сердечной мышцы. Поэтому приходится добавлять в кровь рентгеноконтрастное вешество. Кроме того, по многим техническим причинам можно ожидать, что концентрация контрастного вещества в крови

существенно изменяется в течение того времени, которое необходимо для сбора проекционных данных. Можно разделить каждый период ЭКГ на коротких отдельных интервалов, определяющих периоды сердечного цикла; число зависит от полного числа проекций, которые могут быть измерены, а это определяется главным образом тем. надолго ли сумел задержать дыхание пациент. Если число дискретных проекций, измеренных периода, то

Всегда можно взять величину достаточно большой для того, чтобы реконст руированное изображение радиусом [поскольку для определения размера полного истинного изображения берется выражение (25.1)] было достоверным вне части сечения, содержащего сердце. Начало системы координат удобно поместить в центре окружности радиусом полностью охватывающей область искажения, связанного с работой сердечной мышцы или с изменениями конценташш контрастного вещества. Обозначим это изображение через при Пусть — идеальное изображение полного сечения в течение периода. Тогда

Когда измеряется проекция периода, плотность искажается, скажем, до . Заметим, однако, что

откуда следует

где угол, пол которым измеряется проекция для периода. Поскольку при произвольном фиксированном величина должна сильно изменяться с числом восстановимое изображение ; в) для периода должно существенно отличаться от идеального изображения при

Задача ацтеков в ВТ ставится следующим образом: заданы проекции при - причем требуется реконструировать все изображений считая, что все упомянутые выше величины определены в предыдущем абзаце.

Примитивный подход состоит в том, чтобы применить обычный метод модифицированной обратной проекции к проекции

при каждом значении и при Один недостаток такого подхода заключается в том. что величина V,, обычно является настолько большой, чтобы обеспечить приемлемое разрешение реконструированного изображения. Неравенство (29.3) требует, чтобы спектр был фактически обрезан при

Решение “задачи ацтеков” основано на формулах (31.11) и (31.12), которые показывают, что метод модифицированной обратной проекции в приложении ко всем заданным проекциям успешно восстанавливает изображение при . В результате применения этого метода вычисляются проекции от для подога изображения, которое равно при и нулю при Это — “операция ацтеков", поскольку она соответствует процедуре “вырывания сердца”! Каждая заданная проекция преобразуется в разностную проекцию

которая представляет собой величину, которая измерялась бы только для сердца, если бы его можно было идеально сохранить в полностью рабочем состоянии после “вырывания из груди”. Теперь к проекции от для каждого необходимо применить метод модифицированной обратной проекции. Обрезание спектра производится при значении

большем величины (31.14), поскольку

Решение “задачи ацтеков” имеет еще одно преимущество. Многие неподвижные части грудной клетки, такие как позвоночный столб и ребра, обладают высокой плотностью, а потому приводят к появлению сильных артефактов типа полосчатости в изображениях, реконструированных по небольшому числу проекций. Вклады этих неподвижных частей в каждую заданную проекцию точно учитываются в проекции гак что проекция фактически свободна от их влияния. Поэтому изображения , полученные как решение “задачи ацтеков”, кроме того, что характеризуются примерно в 2 раза лучшим разрешением сравнительно с соответствующими изображениями, полученными на основе примитивного подхода, имеют также меньше артефактов, причем более слабых. Поэтому не удивительно, что детали анатомического строения сердца оказываются более четкими на изображениях , полученных в решении “задачи ацтеков”.