§ 30. Неполные проекции

Иногда бывает невозможно, неудобно или нежелательно собирать данные проекций по всему сечению тела. Причины могут быть разными. Например, пучок частиц (или волны или еще что-нибудь), применяемый для измерения проекций, не может проникнуть в часть тела. Другой пример — когда биологические ткани (скажем, человека) многократно зондируются ионизирующим излучением (например, рентгеновским). Тогда может оказаться целесообразным уменьшить дозу облучения, ограничив воздействие зондирующею пучка той частью сечения. которая представляет наибольший интерес, при условии, что это не мешает реконструкции изображения приемлемого качества.

Неполная проекция определяется следующим образом:

где значения координаты , для которых собраны данные проекции. При этом размер среза определяется условием (25.1), а неперекрываюшиеся отрезки оси . Сумма отрезков охватывает интервал -

Во многих приложениях проекции дискретизуются (а не регистрируются непрерывным образом) вдоль оси ?. Данное обстоятельство можно было бы в явной форме отобразить в обозначениях Но, как отмечалось в замечании 3 в § 25, на практике это обычно нельзя считать большим ограничением, и далее мы нигде его не упоминаем.

В данном параграфе летально обсуждаются два класса неполных проекций. Первый класс — полые проекции, для которых

где вещественная положительная константа, а символ означает “соответствует”. В среднем интервале таких проекций измеренные данные отсутствуют, почему они и называются полыми. При условии, что значения заданы для достаточно большого числа значений , так что будут выполняться требования к дискретизации, соответствующие конкретному применению, функцию в принципе можно реконструировать идеально при как объясняется ниже.

Разрешение изображения всегда конечно, и его можно характеризовать некоторым расстоянием Из формул (9.4) и (25.1) следует, что величины прямо пропорциональны величинам Таким образом, “самые внешние” отсчеты изображения могут быть оценены сразу же. Вычтя соответствующим образом эти отсчеты из заданных проекций, получим снова полые проекции. Однако для них выполняется условие

Следовательно, величину можно сразу же рассчитать аналогичным образом в интервале . В принципе этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не будут восстановлены все отсчеты в пределах области, определенной неравенствами .

Изложенная процедура может быть эффективной в случае идеальных данных, генерированных компьютером. Однако добавление к ним небольшого “шума" делает их совершенно непригодными для дальнейшей обработки. Это один из тех алгоритмов “развертывания”,

которые оказываются бесполезными на практике (например, он значительно большей степени зависит от погрешностей задания данных, чем в какой-то степени связанный с ним метол обработки Нокса — Томпсона, описываемый в § 37). К хорошим результатам приводит превращение заданных проекций в “полные” путем гладкого замыкания “разрывов” при Удовлетворительные результаты получаются при использовании простого метода расширения границ, введенного в § 15 (здесь невозможно применить метод расширения границ с перекрыванием, в котором требуется знать данные на прямоугольном растре, поскольку проекции определяются на радиальной сетке; аналогичная трудность детально обсуждается в § 33). Все, что необходимо сделать, это обеспечить, чтобы функции были непрерывными при все сделанные “полными” проекции удовлетворяли основному условию согласованности (9.19).

Дополнительным к классу полых проекций является класс усеченных проекций, которые называются так потому, что они “срезаны” на краях. Эти проекции удовлетворяют условию

Теоретически реконструировать изображение по усеченным изображениям нельзя лаже внутри окружности радиусом Тем не менее удовлетворительные результаты получаются на практике путем превращения проекций в “полные” почти тем же способом, что и в случае полых проекций. Удивительно, но эти результаты даже лучше, чем в случае полых проекций, при условии, что задана выпуклая огибающая границы сечения (как это часто бывает в практических приложениях). Это дает возможность согласовать процедуру превращения каждой заданной проекции в “полную” с реальной геометрией исследуемого тела. В идеале должно выполняться условие согласованности (9.19), причем функции должны быть непрерывными при Кроме того, каждая функция должна быть положена равной нулю при значениях , которыми определяется выпуклая огибающая границы.

Конечно, следует понимать, что результат реконструкции изображения может быть достоверным только при в случае полых проекции и при в случае усеченных проекций.