Пример 5. Различные реконструированные изображения

На примере проекций изображения, представленного на рис. 5. а, мы покажем, что дает ряд алгоритмов реконструкции при наложении практических ограничения. Назовем изображение а исходным изображением.

Для удобства будем рассматривать оси прямоугольной системы координат, введенной в как горизонтальную и вертикальную оси. Левый (рафик на рис. 5, в лает проекцию исходного изображения, определенную формулой (9.4). в направлении

отрицательной полуоси, т. е. проекцию иод углом первый и второй абзацы). Вертикальные прямые на этом графике - “нулевые’ линии, положительные значения отечн гыьаются влево от них. Мы видим, что проекция полностью положительна, как этого требует выражение (9.4). когла само изображение имеет только положительные значения.

На рис. 5. б показан результат применения метола обратной проекции {§ 33) к левому графику рис. 5, а. Вообразим теперь какую-либо горизонтальную прямую, проверенную от левого края изображения "нулевой" линии левого графика на рис. 5. в. Яркость (т. е. интенсивность или плотность) изображения на изображении постоянна вдоль этой прямой и пропорциональна расстоянию от нулевой линии до точки на данном графике, который пересекает эта линия. Таким образом проекция равномерно размазывается обратно, в плоскость изображения. Поэтому термин "обратная проекция" хорошо перелает суть лела. Укажем также, что I рафик значений интенсивности влоль любой вертикальной прямой, проходящей через изображение имеет ту же самую форму, что и левый трафик на рис. 5. в.

На ряс. 5, г показано изображение, полученное в результате обратного проецирования 8 эквидистантных проекций. Эти проекции были взяты пол углами где пел число в интервале от 0 до 7. Замечательно, что так много деталей изображения а можно различить на изображении несмотря на искажение, обусловленное сильной полосчатостью (конечно, малые детали можно уверенно идентифицировать лишь в том случае, если известно, как выглядит исходное изображение!). Отметим, что по направлениям полосок на изображении можно оценить утлы проекций. На рис. 5, О покатан результат применения метода обратной проекции к 180 эквидистантным (по углу) проекциям. В данном случае полосчатость уже незаметна и все летали, имеющиеся на изображении можно различить (если очень внимательно присмотреться). Однако контраст при этом получается низким. Следует иметь в виду, что достоверность изображения связана главным образом с тем, что изображение а является двухградационным. т. е. имеются два уровня яркости — “светлый” и темный (это сделано для того, чтобы было проще воспроизвести некоторые другие изображения, представленные в данном примере). Например, светлое пятно внутри эллипса на изображении и не было бы видно на изображении если бы яркость пятна составляла, скажем, четверть яркости эллипса.

Правый график на рис. зашумленный вариант левого графика. Можно видеть, что уровень шума (генерированный программой псевдослучайных чисел) значителен. На рис. 5,е показан результат применения метода обратной проекции к 180 эквидистантным зашумленным проекциям (при этом каждая проекция искажена тем же самым среднеквадратичным уровнем шума, что и правый график на рис. 5.в). Несмотря на значительный уровень шума, изображение несущественно отличается от изображения

На рис. представлены модифицированные проекции [см. абзацы, содержащий формулы (33.5)-(33.9) и следующий за ним, соответствующие обычным проекциям, показанным на рис. 5.а. Два (рафика на рис. 5.3 имеют как положительные, так и отрицательные части, поскольку они являются свертками обычных проекций, представленных на рис. 5.в, с функцией фильтра абзац, содержащий формулу (33.8)]. На рис. показан модуль обратной проекции левого графика рис. (воспроизводится модуль ввиду трудности разделения огрииательной и положительной частей данного изображения). На рис. дано изображение, полученное в резулыате обратного Проецирований 8 эквидистантных модифицированных проекций. Последние были вчяты пол теми же углами, что и проекции, использованные для получения изображения Летали на изображении и значительно более ясно видны, чем на изображении Но степень искажения полосчатостью та же самая. Изображение, реконструированное путем

обратного проецирования эквилнетантных модифицированных проекций, почти идентично исходному изображению а, хотя имеет место небольшая полосчатость, связанная с резкими углами в исходном изображении чтобы полностью удалить эти артефакты, потребовалось бы до 300 эквидистантных проекций; если выполняется неравенство (29.3), то полосчатость такого уровня не воспринимается в реальных реконструкциях, ибо на естественных изображениях редко встречаются столь резкие углы; во всяком случае, полосчатость рассматриваемого вила перекрывается полосчатостью, связанной с эффектом ужсстчсн и я излучения и другими эффектами].

На рис. представлено изображение, полученное путем обратного проецирования 180 эквидистантных модифицированных зашумленных проекций (правый рафик на рис. типичная модифицированная зашумленная проекция). Отмстим, что различия между изображениями а и к более значительны, чем между д и е. Это связано с тем. что операция фильтрации (33.8) усиливает шум. Тем не менее подчеркнем, что изображение а гораздо лучше изображения в отношении контраста.

Левый и правый графики на рис. это полый к усеченный варианты проекции под углом 90° (т. е. левого графика на рис. 5.в). На рис. даны результаты реконструкции по 180 модифицированным неполным проекциям (§ 30). На рис. показано. что происходит, если к заданным полым проекциям не применяется предварительная обработка. Изображения н и о реконструированы по 180 предварительно обработанным полым проекциям. Предварительная обработка осуществлялась путем "-замыкания разрывов” на изображениях соответственно, прямыми линиями и кубическими кривыми (последние гарантируют, что как предварительно обработанные проекции. так и их наклоны непрерывны в точках разрыва исходных полых проекций). На изображении эллипс и “уголок", которые четко разделены на изображении а, выглядят как соединенные вместе. Кроме того, квадратик, четко видный в нижней правой части изображения а, на изображении искажен и неярок. Четвертая часть круга, “поддерживающего" горизонтальное плечо на изображениях н и о ярче, чем на изображении и. Раздельность эллипса и "уголка" более ясно видна на изображении о, чем на изображении На изображении о полосчатость значительно меньше, чем на изображении . Читателю эти “улучшения" могут показаться тривиальными. Но мы подчеркиваем, что в случае реальных изображений с широкими пределами значений элементов изображения (напомним, что а — двухградашюнное изображение) такие “улучшения” далеко не тривиальны. Детали такого сорта невозможно сделать полностью ясными для наблюдения без использования дорогостоящих вклеек (отдельных иллюстраций к книге). Нам кажется, что существенные практические вопросы могут быть адекватно рассмотрены, если делать в тексте соответствующие замечания.

На рис. покачано изображение, полученное из необработанных усеченных проекций. Верно реконструирована лишь центральная деталь изображения а. Изображение было получено путем простою превращения каждой усеченной проекции на обоих концах в “полную" посредством прямой линии, и даже в этом случае достигается значительное улучшение. Если бы существовал широкий диапазон уровней яркости в исходном изображении, то можно было бы достичь дальнейшею существенного улучшения путем выполнения процедуры превращения неполной проекции в “полную”, изложенной в предпоследнем абзаце § 30. Каждая из прямых линий, упомянутых выше в связи с изображением начинается в точке усечения заданной проекции и идет к нулю на одном из концов “полной" проекции. Отрезок оси отрезаемый каждой прямой линией, составляет половипу протяженности кажлоя усеченной проекшш, Таким образом, протяженность каждой "полной" проекции в 2 раза больше протяженности заданной усеченной проекции.

На рис. 5. представлены результаты реконструкции по 180 эквидистантным модифицированным проекциям, для которых яркость “эллипса" на изображении а

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

изменялась от проекции к проекции. Проекции брались пол углами от 0 до На изображении с яркость изменялась по синусоидальному закону значения, отвечающего изображению а, при до нуля при и обратно значения, отвечающею изображению а, при (конечно, угол никогда фактически не достигал поскольку последняя проекция бралась при 179°, но яркость принимала бы значение, отвечающее изображению а. если бы проекция пол углом 180° действительно была рассчитана). В случае изображения яркость изменялась по квадратичному закону от нуля при с такой скоростью, что в 1.6 раза превышала значение, ошечаюшее изображению а. при напомним, что последняя проекция бралась при 179°). Внутренняя и внешняя границы эллипса легко различимы на изображении с, для которою яркость эллипса была почти той же самой, что и при . Это типичные “плавные” изменения яркости. Даже в том случае, когда изменения яркости крайне резкие (как на изображении форма областей с переменной яркостью часто реконструируется вполне различимо. На изображении довольно верно реконструируется значительная часть эллипса.

На рис. показано, как влияет изменение положения части исходною изображения (яркого пятна внутри эллипса) от проекции к проекции. В случае изображения у перемещение носило псевдослучайный характер со среднеквадратичным отклонением, равным 3 диаметрам перемещающегося пятна. Искажение изображения практически ограничивается той частью плоскости изображения, где имело место перемещение. Такая ситуация типична для большей части нерегулярных или трудно определимых перемещений. Когда же перемещение регулярное, как в случае изображения (которое соответствует перемещению по окружности диаметром, равным четырем диаметрам перемещающегося пятна, в направлении, противоположном повороту осей относительно осей а- и у — см. первое предложение последнего абзаца § 9), часто наблюдается сильная полосчатость на большой части реконструированного изображения (как это видно на изображении

Изображения показывают, как много теряется деталей, если некоторых диапазонах изменения угла о отсутствуют заданные проекции (в настоящем случае при для изображений соответственно). Даже если угол "недостающего сектора" равен лишь 30° (как в случае изображения искажение оказывается существенным. Фактически, если угол недостающего сектора {приблизительно) равен где целое число, обеспечивающее (приближенно) максимальную близость указанного угла реальному значению, то тогда, по-видимому, результат реконструкции по равномерно расположенным проекциям будет столь же верным, как и в случае большого числа проекций (ни одна из которых, однако. не лежит в пределах недостающего сектора). Это подтверждается тем. что изображение и сравнимо по качеству с изображением

На рис. 5. показаны изображения (части сечений, проходящих через больного), сформированные промышленным компьютерным томографом. Пациент недавно перенес хирургическую операцию на мозге, после которой внутри черепа был (по медицинским соображениям) оставлен хирургический зажим. Изображение отвечает сечению, не проходящему через зажим. Последний виден как яркое центральное пятно, из которого исходят “полоски” подобно спицам колеса. Эти артефакты связаны с эффектом ужестчення (см. замечание 1 в § 25 и третий абзац § 32). вызываемый тем, что плотность металлического зажима значительно выше, чем тканей мозга и костей черепа. Сравнение изображений показывает, насколько сильным может быть на практике влияние эффекта ужестчення пучка и как желательно было бы иметь эффективный в вычислительном отношении алгоритм для устранения полосчатости.