§ 28. Задача ВТ с синхронизацией

В данном параграфе мы рассмотрим визуализирующие системы, в которых используется синхронизация, т.е. применяется информация, позволяющая «мгновенно» определять локализацию источников излучения или рассеивателей. Случаи, изучаемые здесь, аналогичны исследованным в § 27, где основное внимание уделялось вопросу компенсации ослабления излучения при его прохождении через визуализируемое сечение. Однако в данном параграфе нас будут интересовать системы, главным ограничением которых является плохая синхронизация, связанная с неполнотой данных или низким отношением сигнал/шум в данных. Далее обсуждаются два типа систем.

Первый тип систем — это моностатическис локационные системы (например, радиолокационные или ультразвуковые), в которых одна и та же радиоантенна (или один и тот же ультразвуковой преобразователь) используется и для передачи, и для приема сигналов. Предполагается. что рассеиватели лежат в плоскости х,у и погружены в однородную среду (т.е. имеет место ситуация, обычная в радиолокации, но далеко не всегда возможная в гидролокации и в медицинской

ультразвуковой интроскопии). Поэтому излучение можно с приемлемой точностью рассматривать как пучки прямых лучей. Считается, что среда не ослабляет излучения. Хотя, таким образом, ослабление лучей отсутствует, их потери ни расходимость (т.е. уменьшение интенсивности излучения обратно пропорционально квадрату расстояния) следует учитывать. Введем теперь не совсем определенное, но важное понятие ячейки разрешения: это эффективный размер наименьшей области сечения, которая может быть выделена визуализирующей системой. Этот размер определяется шириной главного лепестка диаграммы направленности антенны и разрешением по дальности системы. Будем считать, что разрешение не очень хорошее, так что почти всегда на одну ячейку разрешения приходится несколько отдельных рассеивателей. Таким образом, амплитуда регистрируемого излучения зависит от «интерференции» между сигналами отдельных рассеивателей. Поэтому распределение рассеивателей (точнее говоря, распределение амплитуды рассеяния) по сечению не только может быть, но и, вообще говоря, должно быть комплексным. Чтобы подчеркнуть это, обозначим указанное распределение через а не через Размер изображения удобно нормировать в соответствии с равенством

что, очевидно, согласуется с условиями (25.1).

Для достоверной реконструкции функции конечно, необходимо иметь соответствующий диапазон измерений. Отдельное измерение производится так, чтобы центр излучающей апертуры антенны (назовем его фазовым центром) находился в точке с -координатами, равными а — угол, принимающий значения в интервале от 0 до Ось радиолуча антенны (назовем ее осью ) может перемешаться так, что будет проходить по всему сечению. Обозначим через угол, изменяющийся от до между осью и прямой линией, проходящей из точки в начало системы координат

На практике радиолокационные лучи достаточно узкие, так что форма радиолуча антенны (опять обозначим его через может быть упрошена, как в формуле (26.6). Обозначая через а прямоугольную координату в плоскости перпендикулярную оси и выбирая за начало координат фазовый центр антенны, мы можем представить радиолуч в виде

где прямоугольная координата, перпендикулярная плоскости и — эффективные ширины радиолуча в плоскостях, параллельной и перпендикулярной плоскости

Поскольку сигналы от отдельных рассеивателей интерферируют в пределах одной ячейки разрешения, мы должны исследовать истинные сигналы, характеризующиеся фазами, такие, как электрические поля и токи, а не мощности и интенсивности. Тогда потери на расходимость будут обратно пропорциональны первой степени расстояния, а не квадрату расстояния. Рассмотрим, используя координаты произвольную точку в ячейке разрешения с центром в точке Собственное разрешение почти любой используемой на практике локационной системы таково, что амплитуду прошедшего сигнала в точке можно считать пропорциональной отношению в согласии с точностью, соответствующей представлению (28.2) для радиолуча антенны. Тогда сигнал, рассеянный обратно к антенне точечным рассеивателем с единичной амплитудой рассеяния, расположенным в точке пропорционален величине Разрешающая способность по дальности (т.е. разрешение системы в направлении удобно характеризовать одномерной ФРТ . Поэтому сигнал, принимаемый антенной от всех рассеивателей, находящихся в ячейке разрешения с центром в точке пропорционален величине

где координаты связаны между собой соотношениями

Как уже указывалось, рассматриваемый здесь тип локационной системы на практике ближе всего к радиолокационным системам. Но радиолокационные цели (т.е. радиолокационные рассеиватели) обычно движутся, а это означает, что указанный выше круг измерений должен быть выполнен раньше, чем изменится форма функции При одном значении а можно достаточно быстро покрыть интервалы применяя электронное управление главным лепестком диаграммы направленности антенны (т.е. фазированную антенную решетку). Однако непрактично было бы располагать электронно-управляемые антенны обзора по всей окружности радиусом К Правда, можно было бы несколько, скажем антенн расположить в определенных точках на этой окружности. Первая задача ВТ с синхронизацией, или моностатическая локационная задача в случае низкого разрешения, ставится следующим образом: задается величина при и для дискретного множества значений а, требуется реконструировать

функцию считая, что величина определена выражением (28.3)

Поскольку исследуемые объекты лежат только в сечении, изображение которого мы хотим получить, интегрирование по переменной в выражении (28.3) мы можем провести сразу же при условии, что форма луча задана априори (что всегда имеет место на практике, поскольку радиолуч антенны измеряется до того, как начнется эксплуатация любой данной системы). По аналогии с выражением (26.10) удобно определить величину

Хотя эти два определения функции различаются, нам незачем вводить новые обозначения, поскольку здесь не может возникнуть никакой путаницы. Путем выкладок, аналогичных тем, с помощью которых выражение (26.7) было преобразовано в выражение (28.3), преобразуем с использованием соотношений (28.4) и выражения (28.5) выражение (28.3) к следующему виду:

В идеализированном случае, когда разрешение идеальное, т.е.

каждая ячейка разрешения становится бесконечно малой, гак что выражение (28.6) преобразуется к виду

Поэтому полное изображение сразу же восстанавливается путем измерения величины во всех интервалах и при каждом фиксированном значении

Если условие (28.7) плохо соответствует действительности, как это часто бывает на практике, то приходится обращаться к численным процедурам оценки. Иногда имеет смысл моделировать функции дискретным множеством точечных объектов, например положить

где положительное целое число коэффициенты рассеяния А, и координаты отдельных объектов должны оцениваться по известным данным. Зная значения и эффективную ширину ячейки разрешения, каждую величину можно рассматривать как К независимых наборов данных. Таким образом, всего имеется независимых наборов. Подставив выражение (28.9) в выражение (28.6) при всех значениях можно объединить наборов данных в один вектор-столбец Хотя вектор-столбец линейно связан, с коэффициентами он в то же время нелинейно связан с точками а это означает, что необходимо использовать программу одного из многочисленных методов нелинейного поиска, чтобы оценить неизвестные значения в правой части равенства (28.9).

Второй тип системы, исследуемой в данном параграфе, — это системы позитронной эмиссионной томографии (ПЭТ). Такие системы дают изображения конечных распределений источников, испускающих пары позитрон-электрон («пэ-пары»), которые затем спонтанно «аннигилируют». Каждое событие (акт) аннигиляции дает два фотона, испускаемых в противоположных направлениях (в силу законов сохранения энерг и импульса). С помощью схем совпадения не только определяются прямые в данном сечении, по которым распространяются фотоны, но и точки (на этих прямых), в которых происходит аннигиляция. Поскольку источники, испускающие пэ-пары, пространственно-некогерентны, можно вернуться к обозначению используемому в § 25—27, и отказаться от символа который применялся ранее в данном параграфе. Распределение источников пэ-пар по данному сечению обозначим соответственно через причем снова нормируем эту функцию соотношением (25.1). На практике не представляет никаких трудностей окружить данное сечение (срез) фотонными детекторами, попарно присоединенными к схемам совпадения. Таким образом, можно считать, что проводится «полное» измерение. Однако следует подчеркнуть, что данные таких измерений на практике всегда отличаются высоким уровнем шума.

Рассмотрим пэ-пару в точке с координатами равными Предположим, что, когда эта пэ-пара аннигилирует, она испустит фотоны, которые будут распространяться вдоль положительной и отрицательной полуосей и будут зарегистрированы в точках, координаты которых в системе координат в равны Если источники пэ-пар погружены в среду, характеризующуюся коэффициентом ослабления фотонов (на единицу длины пробега) то вероятность того, что любой из двух фотонов будет отдельно зарегистрирован, пропорциональна величине

где знак относится к одному фотону, а знак к другому и бесконечный нижний предел интегрирования указывает просто на то, что фотоны должны выйти из среды, чтобы они были зарегистрированы. Координаты связаны с координатой соотношениями (28.4), но в которых , т.е.

Вероятность того, что оба фотона будут зарегистрированы одновременно (т.е. будут зарегистрированы на совпадение), пропорциональна произведению вероятностей регистрации отдельных фотонов:

где обычная проекция (§ 9) через среду, вызывающую ослабление, вдоль луча, идущего по оси величина, аналогичная величине, обозначаемой в § 27 тем же символом. Таким образом, кроме возможности регистрации фотонов, испускаемых источниками пэ-пар во всех направлениях в плоскости в системе ПЭТ должна быть предусмотрена возможность проведения предварительных измерений проекции в интервалах Излучение в таких предварительных измерениях должно состоять из фотонов той же энергии, что и испускаемые источниками пэ-пар.

Как указывалось ранее, с помощью схемы совпадений можно определить, в какой точке на прямой линии происходит акт аннигиляции. Однако на практике такая оценка является довольно грубой и характеризуется широким импульсным откликом. Поскольку фотоны с энергией. подходящей для систем ПЭТ, всегда распространяются практически со скоростью света в вакууме, импульсный отклик можно задать одномерной ФРТ Таким образом, полная вероятность регистрации на совпадение событий, происходящих в элементе объема с центром в точке и лающих фотоны, разлетающиеся в направлениях положительной и отрицательной полуосей пропорциональна плотности распределения источников пэ-пар в окрестности точки и коэффициенту ослабления (формула (28.11)], причем с искажением за счет ФРТ. Поскольку вероятности регистрации прямо пропорциональны потокам фотонов, падающих на детекторы (при условии, что последние далеки от насыщения, а это почти всегда

выполняется на практике в системе ПЭТ), содержимое счетчика на выходе схемы совпадений с двумя детекторами, регист рирующими фотоны, которые распространяются в направлениях положительной и отрицательной полуосей пропорционально величине

Множитель вынесен за знак интеграла на том основании, что для вылета фотонов при аннигиляции пэ-пар нет предпочтительного направления.

Вторая задача ВТ с синхронизацией, или задача ПЭТ, ставится следующим образом: заданы величины в интервалах требуется реконструировать функцию считая, что величины определяются выражениями (28.11) и (28.12). [Кроме того, предполагается, что заданная величина характеризуется низким отношением сигнал/шум.)

Первый этап решения задачи вычисление величин

т. е. результатов счета на выходе схем совпадений в отсутствие ослабления средой, в которой находятся источники пэ-пар. Дело в том, что упомянутые выше предварительные измерения дают возможность исключить эффект ослабления.

Величина при определенных фиксированных значениях параметров и а отвечает одному лучу, проходящему через данное сечение. Теперь нужно найти значения величины при всех имеющихся значениях данных параметров и перегруппировать их, объединив те из них, которые при конкретном значении угла введенного в § 9 (второй абзац), отвечают лучам, параллельным оси Повторяя такую процедуру при других значениях мы перегруппируем значения величины в совокупности значений, которые достаточно точно соответствуют обычным проекциям (см. §§ 9 и 25). Такая перегруппировка данных в наборы, отвечающие параллельным лучам, принята в некоторых выпускаемых промышленностью томографах, которых фактически измеряются “проекции веерного пучка” (см. § 25). Дело в том, что, хотя веерные пучки более удобны при проведении измерений, схема параллельного пучка имеет вычислительные преимущества (см. § 33).

Используя координаты , введенные в и замечая, что

положение начала оси вообще говоря, несущественно при рассмотрении интеграла (28.12), поскольку фотоны должны выйти из данного сечения, чтобы они были зарегистрированы, результат преобразования величины можно записать следующим образом:

где символ введен по аналогии с символом применяемым в § 9 для обычной проекции [тильда над буквой используется потому, что ниже в выражении (28.16) вводится еще одна величина, подобная проекции]. Ось у выбрана параллельно оси так что

Определив

по теореме о свертке (7.3) найдем фурье-образ выражения (28.14) по переменной

Интересны два предельных случая. Первый случай, в котором описывает идеализированную систему ПЭТ, поскольку выражение (28.14) сводится к где так что соответст вующие измерения непосредственно приводят к получению искомого изображения при условии, что в процессе измерений охватываются достаточно широкие интервалы параметров Второй случай — когда пренебрежимо мала разрешающая способность системы по дальности, т. е. откуда следует, что Как явствует из выражения (28.17), в этом случае проекция может существовать только при и тогда она эквивалентна обычной проекции соответствующей определению в § 9. Проекцию назовем ПЭТ-проекцией.

По аналогии с выражением (9.6) определим

что в приложении к выражению (28.17) дает

где использованы формулы (6.11) и (6.12), а координаты выражаются через координаты следующим образом:

Если использовать формулу (6.3), то интегрирование но переменным и в выражении (28.19) можно провести непосредственно, и мы получим

где функция переписана в полярных координатах, использованы формулы (6.5)-(6.8) и введено обозначение

Подчеркнем, что выражение (28.21) дает спектр пространственных частот одной ПЭТ-проекции, тогда как соответствующий спектр одной обычной проекции. Таким образом, хотя обычная проекция относится просто к одной прямой, проходящей через начало координат частотной плоскости, ПЭТ-проекция характеризуется двумя

секторами, ширины которых представляют собой эффективную ширину спектра Таким образом, данные, которые можно извлечь из последовательных ПЭТ-проекций, перекрываются в частотной плоскости, чем создается избыточность, улучшающая полное отношение сигнал/шум. т. е. в каждой точке имеется несколько опенок функции которые могут быть усреднены для получения лучшей окончательной опенки. Имеется также еще одна интересная возможность. Поскольку каждая функция охватывает некоторую область частотной плоскости, а не просто некоторую линию, как в обычном одномерном случае, отсчеты функции могут браться на прямоугольном растре. Это дает возможность получить изображение путем непосредственной фурье-реконструкции без необходимости преодоления трудностей, связанных с выполнением интерполяции в обычной ВТ (см. §§ 25 и 33).