§ 24. Связанные задачи

Наиболее удивительной особенностью фазовой задачи в частотной плоскости является, пожалуй, то, что от размерности задачи зависит единственность ее решения (см. § 22). В двумерном случае и в случаях большей размерности на практике можно исходить из того, что решение фазовой задачи будет единственным. В одномерном же случае единственности нет. Поэтому возникает вопрос: а нельзя ли связанные фазовые задачи, которые на первый взгляд кажутся одномерными, преобразовать к двумерному виду?

По-видимому, важной одномерной задачей является фазовая задача со скользящим окном, которая ставится следующим образом: задана величина при требуется восстановить функцию при этом функция определяется как

где

так что, если рассматривать переменную как «время», можно считать, что функция окна выделяет участок сигнала с центром в момент времени При изменении окно перемешается.

Введем обозначение

для двумерного фурье-образа функции Символ здесь не имел бы смысла, поскольку величины и в показателе экспоненты противоположны по знаку; это связано с тем, что функция является «изображением» по одной переменной и «спектром» — по другой. Подставляя выражения (24.1) и (24.2) в выражение (24.3), получаем

где

Во-первых, заметим, что фазовая задача со скользящим окном не сводится к двум одномерным фазовым задачам, поскольку и -зависимости в выражении (24.4) не «разделяются» (см. § 22, предпоследний абзац). Во-вторых, формы задаются выражением при любых фиксированных значениях соответственно. Таким образом, форма функции окна так же как и форма функции может быть восстановлена по величине в-третьих, укажем, что если функции в выражении (24.4) заменить соответственно функциями где вещественные функции, то амплитуда двумерного фурье-образа выражения (24.4) будет зависеть от формы функций Поэтому удивительно, что решение фазовой задачи со скользящим окном, по-видимому, остается единственным, даже если функции не являются функциями с неотрицательными значениями.

Рассмотрим еще класс ограниченных фазовых задач в частотной плоскости, которые ставятся следующим образом: в частотной плоскости заданы модуль спектра и некоторая дополнительная априорная информация; требуется восстановить функцию Эта задача имеет важное значение даже в случае двумерного спектра, поскольку, во-первых, восстановлению фазы мешает любой шум, имеющийся в исходных данных, а дополнительная информация может уменьшить влияние шума, и, во-вторых, форму некоторых изображений, например факторизуемых в виде произведений функций переменной х на функции переменной у или имеющих отрицательные значения, можно однозначно восстановить только при наличии дополнительной информации. К этому следует добавить также, что одномерная фазовая задача в частотной плоскости (которая ставится в § 34), вообще говоря, не имеет единственного решения.

В качестве примера ограниченной одномерной задачи рассмотрим следующую задачу. Допустим, мы имеем заметно зашумленную оценку спектра, а также некий вариант модуля спектра

измеренный гораздо точнее. Это возможно, скажем, в случае многолучевого интерферометра, образованною линейной антенной решеткой, когда в принимаемой полосе частот фазу значительно труднее точно измерить, чем видность интерферограммы («видность» — характеристика глубины интерференционных полос). Если ошибки, присутствующие и оценке спектра не слишком велики, то данная задача может быть решена одним из методов согласованной деконволюции (см. § 19). Чтобы воспользоваться преимуществами обозначений, введенных в § 13, напишем

По заданным величинам можно рассчитать соответствующие множества нулей элементы множества , не очень удалены от элементов множества можно путем проверки установить, какие элементы множества принадлежат множеству а какие — множеству что даст возможность восстановить функцию с точностью, равной точности данных измерения модуля спектра Отметим, что такое «выявление нулей» обычно с большей эффективностью проводится вручную на основании визуального анализа картины распределения фазы, хотя в принципе нетрудно написать соответствующую программу для ЭВМ.

Рассмотрим одну важную ограниченную фазовую задачу, которая впервые возникла в электронной микроскопии. В этой задаче изображение может быть комплексным. Она ставится следующим образом: заданы в частотной плоскости и плоскости изображения, соответственно; требуется восстановить изображение считая, что

Для решения этой задачи удобно воспользоваться алгоритмом Герхберга — Сэкстона, который был разработан еще раньше, чем алгоритм Герхберга (§ II) и алгоритм Файнапа (§ 23). Поскольку величины и заданы, можно проводить итерации, не оценивая предварительно размер кадра Это и хорошо, так как в данном случае нельзя было бы воспользоваться теоремой об ограниченной протяженности (8.15), ибо изображение может иметь значения, не являющиеся вещественными неотрицательными. Решение задачи начинают с того, что вводят псевдослучайную функцию фазы и вычисляют величину

Затем вычисляют величину

Итерационный цикл устанавливается путем повторного вычисления функции

что позволяет снова вычислить Для реализации данного алгоритма необходимы только фактические отсчеты модулей . В промежуточных отсчетах (см. § 22) здесь нет необходимости. Следовательно, мы не можем воспользоваться критерием обрывания итерационного процесса типа (23.15). Но мы можем вычислить средний квадрат разности фактических отсчетов модулей То же самое можно сделать и для фактических отсчетов модулей Эти средние квадраты разностей нужно вычислить поочередно то в частотной плоскости, то в плоскости изображения. Итерационный процесс обрывают, когда на одной и той же итерации будут выполнены оба критерия обрывания.

Хотя анализ вопросов единственности решения фазовой задачи в двумерном случае, представленный в § 22, не может быть непосредственно приложен к алгоритму Гсрхберга — Сэкстона ввиду отсутствия какого-либо ограничения на размеры кадра изображения в итерационном цикле, можно провести аналогичное исследование (см. цитированную литературу).