§ 16. Мультипликативная деконволюция

Правая часть соотношения (14.3) показывает, что деконволюцию можно рассматривать как операцию фильтрации, о чем уже упоминалось в § 14. ОПФ выполняет в соотношении (14.3) роль

фильтра, поскольку она изменяет спектр пространственных частот в результате выполнения операции деления. Но деление не является обычной операцией фильтрации, которая рассматривается в обработке сигналов, фильтрацией принято считать умножение. В формуле (14.3) спектр умножается на частотную характеристику так называемого простого инверсного фильтра

Теперь формулу (14.3) можно переписать в виде

В выражении (16.2) не учитывается неизбежное наличие шума. В силу формул (14.1) и (14.2) преобразование Фурье выражения (14.9) лает

где спектры функций Величину назовем спектром шума. Очевидно, что простая инверсная фильтрация может лишь сгладить изображение (§ 2), но не может обеспечить его восстановление или реконструкцию. Такая фильтрация очень сильно зависит от вносимых погрешностей, поскольку величина принимает большие значения всюду, где величина заметно меньше единицы. Для эффективного решения задачи деконволюции на практике необходимо принять меры, исключающие такое «усиление шума».

Определим в частотной плоскости две области область, где функция имеет достаточно большие значения, а область, охватывающая те точки и, в которых Далее обозначим через часть области не пересекающейся с областью

Так как по определению в области необходимо улучшить простую инверсную фильтрацию, если, как это часто имеет место, область оказывается достаточно большой. Необходимо построить некоторый «модифицированный инверсный фильтр» который бы не действовал, когда точка и лежит в области

Хотя такой модифицированный инверсный фильтр лучше исходного, он все же не совсем удовлетворителен, поскольку его разрывы на границе области вносят артефакты в восстановленное изображение. По причинам, указанным в § 14 и 15, желателен более гладкий фильтр.

Рассмотрим другой модифицированный инверсный фильтр

который называется винеровским фильтром. Величина есть мера отношения шума к сигналу как функции пространственной частоты (здесь шум понимается так же, как и в § 4), т. е. функция представляет собой оценку величины Поскольку фильтр, определенный соотношением (16.5), удовлетворяет условиям

его свойства аналогичны свойствам фильтра определяемого условиями (16.4), но он всюду гладок. Известно также, что он оптимален по критерию среднею квадрата при условии, что шум имеет гауссовское распределение.

Наличие шума в выражении (14.9) делает невозможным «точное» решение практической задачи деконволюции, такое, как (14.3) для идеализированного случая. Но можно предположить, что некий модифицированный инверсный фильтр будет приемлемым приближением для ОПФ, соответствующей модифицированной ФРТ, введенной в § 14. Если взять винеровский фильтр (а это, конечно, наиболее употребительный мультипликативный фильтр), то из этого предположения вытекает, что

где двумерная дельта-функция, введенная в формуле (6.18). Следовательно, выполнив преобразование Фурье выражения (14.10), в силу теоремы о свертке (7.7) получим приемлемый вариант восстановимого истинного изображения

Полученная функциональная зависимость та же, что и в формуле (16.2). но с учетом формулы (16.5) она отражает неопределенности, связанные с неизбежной зашумленностью данных измерений. Хотя опыт оценки восстановленных ранее изображений, казавшихся почти одинаковыми, может помочь при нахождении отношения шума к сигналу в каждом конкретном случае, редко удается обоснованно предсказать зависимость функции от . Часто функцию берут в виде константы, которую мы будем называть константой фильтра значение можно подобрать эмпирически, т. е. испробовать разные значения и то из них, которое дает наиболее удовлетворительные результаты (здесь, конечно, неизбежен элемент субъективности), принять за «правильное».

Существует другой эквивалентный подход к деконволюции, называемые гомоморфной или кепстрапьной фильтрацией. Комплексный кепстр функции следующим образом выражается через функцию

В идеализированном случае, когда справедливы формулы (14.1) и (14.2). комплексный кепстр функции дается выражением

так что операция простой гомоморфной фильтрации, которая эквивалентна простой инверсной фильтрации, определенной соотношением (14.3), представляется в виде

Простая гомоморфная фильтрация перестает быть эффективной при тех же самых условиях, что и простая инверсная фильтрация. На практике, если изображение существенно зашумлено, удобно ввести гомоморфный аинеровский фильтр

где фильтр, определенный соотношением (16.5). Восстановимое истинное изображение дается тогда следующим выражением:

что в точности эквивалентно формуле (16.81, тогда как выражение (16.11) эквивалентно выражению (16.2).