Пример 3. Винеровская фильтрация

Мы полагаем, что на практике наиболее широко применимым метопом деконволюции слелуегг считать мультипликативный метод винеровской фильтрации (см. § 16). Рассматриваемый здесь пример иллюстрирует различные практические аспекты винеровской фильтрации с применением некоторых методов предварительной обработки, описанных в § 15.

На рис. 3, а показан фрагмент изображения а из примера 1. Здесь мы принимаем изображение а за истинное изображение (см. § 4, первый абзац). Предположим теперь, что этот фрагмент фотографируется несфокусированной камерой, так что получается искаженное изображение с которой свертывается изображение а для получения изображения имеет форму однородного кружка (см. табл. 1.1) диаметром 15 элементов, что соответствует изображению а на рис. 2 в примере 2. Допустим, что, если не считать несфокусированности объектива, получаемые нами фотографии имеют столь высокое качество, что на искаженном изображении в имеется только шум квантования, связанный с восьмиразрядной точностью дискретизации. Далее мы покажем, что такое практически незашумленное исходное идеальное искаженное изображение [см. определения (3.4) и <14.1) не делает наши иллюстрации к винеровской фильтрации нереальными.

Изображение - это полный искаженный вариант изображения а. Последнее содержит 242 х 242 элементов, тогда как изображение состоит из 256 х 256 элементов. Поскольку диаметр ФРТ равен 15 элементам, максимальное горизонтальное (или вертикальное) размытие каждой точки на изображении а составляет 7 элементов слева и справа (или нверх и вниз), чем и объясняется, что изображение имеет на 14 элементов больше, чем изображение а, как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях. Поскольку изображение является «незашумленным», можно без труда практически идеально восстановить изображение а методом винеровской фильтрации. Отмстим, что «полнота» изображения имеет даже более существенное значение, чем отсутствие зашумленности. Различные виды искаженных изображений, которые встречается в практических приложениях, всегда записаны в кадрах конечных размеров, так что информация, содержащаяся в «заданном» искаженном изображении, всегда как-то «обрезана» вблизи границ. При попытках восстановить истинное изображение, исходя из усеченного искаженного изображения, мы обычно встречаемся со значительными трудностями.

Тэперь предположим, что вместо изображения у нас имеется изображение 6, состоящее из центральных 228 х 228 элементов изображения Резкое усечение по внешней границе изображения в сводят на нет процедуры восстановления, если не принять соответствующих мер. На практике эти краевые эффекты оказываются даже более

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

важными, чем зашумленность изображения. Поэтому качество восстановленных изображения, полученных на основе изображения я, незначительно изменилось бы, если бы мы добавили к последнему некий реальный уровень шума. (Конечно, нам ничего не стоило добавить шум к изображению и, но тогда нам пришлось бы кшорить о влиянии уровня шума, что сильно увеличило бы объем данного примера. Читатель, у которого возннка сомнения по поводу того, что эффект усечении можез быть более существенным, чем влияние шума в реальных искаженных изображениях, может обратиться к литературе. указанной в вволных замечаниях к данной главе).

Изображения и демонстрируют, что происходит, когда винерозекан фильтрации осуществляется без отмеченных мер предосторожности (т. е. без предварительной обработки. рассматриваемо» в § 15). Величина введенная в формуле (16.5), предполагается постоянной, т. е. равной константе фильтра которая введена после формулы (16.8). При получении изображений гид были взяты жачення константы равные 0.0009 и 0,01. Артефакты в виде «ряби» и низкая четкость «восстановленных» деталей типичны для искаженных изображений, подвергнутых винеровской фильтрации без предварительной обработки. Эти два изображения позволяют сделать еще один важный практический вывол: качество восстановленного изображения в какой-то мере зависит от взятого значения константы

Отмстим олин вычислительный момент практического характера, связанный к изображениями Поскольку винсровская фильтрация оенпнанз на преобразовании Фурье, для экономии машинного времени приходится прибегать к алгоритму БПФ (см. § 12 и пример 2). Для этого нужно, чтобы изображения, которые трубуется фильтровать. состояли из элементов, где целое положительное число. Мы могли бы «дополнить нулями» изображение в [см. § 12, перед абэаием, содержащим формулы (12.14) — (12.17)]. Но мы предпочли «участить» его методом билинейной интерполяции (см. § 45 и текст, относящийся к формуле (47.1)]. гак чтобы и нем было элементов. После вннеровскон фильтрации «частота» каждого восстановленного изображения (т. е. была снопа уменьшена до элементов.

Прежде чем демонстрировать выгоды предварительной обработки, рассмотрим кадра которые определены в § 15 и представлены на рис. 3. о. Кадр это кадр записи, в пределах которого существует фактически записанное изображение (см. § 4). В нашем примере кадр из 228 х 228 элементов, содержащий изображение в. Иногда оказывается удобным считать, что имеется некое «исходное изображение». лишь частью которого является рассматриваемое истинное изображение (т. е. в нашем примере изображение а). Но если фактически записанное изображение есть все, что нам известно, то мы можем получить какую-либо информацию только о той части исходного изображения, которая непосредственно влияет на фактически записанное изображение. Действие состоит в том, что каждая точка исходного изображения размывается к некую область плоскости изображения с центром в Исходной точке, по площади равную кадру ФРТ. Последний представляет собой минимальный прямоугольный кадр, содержащий все точки х, в которых величина заметно отлична от нуля (в данном примере это квадрат размером элементов). Вообще говоря, ширина ФРТ неодинакова слева (скажем, в пределах элементов), справа (в пределах элементов), вверху (в пределах элементов) и внизу (в пределах элементов); поэтому кадр состоит из элементов, так как нулевое искажение характеризуется кадром ФРТ, содержащим один элемент (а не нуль элементов!) в рассматриваемом примере Таким образом, ФРТ размывает часть исходною изображения, лежащую в пределах области в кадр на рис. 3, а), размеры которого равны размерам области плюс элементов в горизонтальном направлении и элементов в вертикальном направлении (в нашем примере кадр состоит их элементов). Обратно, ФРТ размывает на область по

крайней мере частично, каждую точку исходного изображения, которая лежит в пределах калра И. Поэтому часть исходного изображения, лежащая в пределах кадра и есть та часть, которая оказывает непосредственное влияние на фактически записанное изображение. Назовем эту часть исходною изображения истинным изображением (в нашем примере это изображение а). Кроме того, размывает истинное изображение на больший кадр на рис. 3. а), размеры которою равны размерам кадра увеличенным на элементов изображения в горизонтальном направлении и элементов в вертикальном направлении; в нашем примере кадр (состоит из 256 х 256 элементов (это кадр, ограничивающий изображение 6).

Желательно иметь какой-то объективный критерий качества восстановления. Мы здесь выбрали критерий средней абсолютной ошибки

элемент восстановленного изображения, истинного изображения (обозначение показывает, что все элементы изображения лежат в пределах калра . На рис. 3. и представлена зависимость величины (5 от Кривая А подтверждает вывод, сделанный выше о том, что изображение а можно более или менее хорошо восстановить по изображению если величина достаточно мала, то величина (2 становится ничтожно малой. Кривая И показывает, что наилучшее восстановление изображения в (без предварительной обработки) соответствует весьма значительному уровню зашумленности (эквивалентный среднеквадратичный «уровень шума» составляет что существенно выше, чем в большей части важных практических приложений, и этим подтверждается сделанный ранее вывод о том. что эффект усечения изображения в может доминировать над влиянием любого реального уровня зашумленности).

Чтобы критерий ошибки имел значимость, все изображения, рассматриваемые в данном примере, нормированы так, что все квантованные отсчеты изображений лежат в пределах

Теперь мы можем проиллюстрировать улучшение качества восстановленного изображения, которое достигается методом предварительной обработки — расширением границ, описанным в абзаце, содержащем формулу (15.34), и в шести последующих абзацах. Изображение это результат применения метода расширения границ с целью получить из изображения в оценку идеального искаженного изображения (которое существует на кадре Подчеркнем, что не может быть и речи о том, чтобы достоверно восстановить часть изображения лежащую между границами кадров . От применения метола расширения границ можно ожидать только компенсации эффектов усечения — о восстановлении истинного изображения вне области нечего и думать. Изображение есть наилучший результат восстановления по изображению (соответствует минимуму кривой С на рис. 3, н). По сравнению с изображением здесь заметное улучшение, но многие детали изображения остаются еще несколько искаженными и имеется остаточная «рябь», которая обусловлена тем, что простое расширение границ не позволяет получить искаженное изображение, достаточно близкое к свертке истинною изображения с в этом проявляется принципиальная несогласованность конечных сверток (см. § 14).

Изображение з — это полученная из изображения в методом расширения границ с перекрыванием оценка периодически продолженного (с перекрыванием) искаженною изображения (оно повторяется в плоскости изображения в смежных ячейках, каждая из которых конгруэнтна кадру изображение з отвечает одной такой ячейке). Изображение и — наилучшее восстановленное изображение, которое можно получить из изображения изображение и соответствует минимуму кривой на рис. Налицо значительное улучшение по сравнению с изображением Хотя некоторые мелкие

детали, имеющиеся на изображении а, не четко восстанавливаются на изображении и. шссь значительно меньше «ряби», которая сильно портит изображения и в меньшей степени Это проявление принципиальной несогласованности периодических сверток, отмеченное в следующем абзаце после формулы (14.8). Здесь видно, насколько важно с чисто практической точки зрения следить за тем, чтобы расчеты как можно более согласовались с формулами математической физики, на которых оснеован тот или иной процесс обработки, если это, конечно, можно сделать без больших усложнения. Изображение к — результат применения винеровской фильтрации к изображению при Изображение к лишь немного хуже изображения и, чем подтверждается наш вывод о том, что качество восстановленного изображения почти не зависит от величины если она достаточно близка к оптимальному значению.

Теперь покажем, к чему приводит в случае винеровского фильтра применение неверной ФРТ. Изображение восстановлено по изображению з с применением гауссовской ФРТ (см. табл. 1.1.) вместо ФРТ, отвечающей расфокусировке. Эффективный диаметр гауссовского «колокола» был таким же, как и диаметр кружка ФРТ в случае расфокусировки (этот кружок представлен на рис. 2 а, а случай гауссовского размытия — на рис. 1, е). Изображение получено в результате восстановления с ФРТ. отвечающей расфокусировке, но при диаметре кружка, равном 19. а не 15 элементам изображения. Константа в случае изображений была взята такой же, как и в случае изображения и. Изображения заметно хуже изображения и. чем подтверждается наш вывод о том, что правильная оценка формы ФРТ важнее, чем точное задание оптимального значения константы фильтра