Пример 9. Определение ФРТ

В данном примере иллюстрируется целый ряд методов, изложенных в § 52. Мы рассмотрим два искаженных варианта изображения а на рис. 1 и покажем, как могут бьпь определены соответствующие ФРТ. Продемонстрировав способы учета имеющейся

априорной информации (а именно калибровку и радиальное усреднение), мы приведем примеры оценки (методами выявления нулей и границ) ФРТ непосредственно по искаженным изображениям. Конечно, некоторая априорная информация всегда имеется, но в случае методов выявления нулей и границ она менее важна, чем в случае калибровки и радиального усреднения. Исследуемые здесь искаженные изображения, которые получены из рис. 1. а. представлены на рис. 1, з и 9, в.

Рис. 9, а есть усеченный (до элементов изображения) вариант свертки изображения а на рис. 1 с той которой обусловлено его искажение. Из теоремы о свертке (7.7) следует, что спектр изображения а на рис. изображение 6 на рис. 9, которое представляет собой гистограммно-эквалиэованную (см. § 45) форму логарифма модуля, пересчитанного по алгоритму БПФ периодически продолженного с расширением границ (см. § 15) варианта изображения а на рис. 9] и идеале равен произведении) на спектр изображения а с рис. 1. Поэтому всякий нуль на рис. 9,

6 должен быть либо нулем либо нулем спектра изображения а на рис. (Поскольку процедура расширения границ не может быть идеальной, изображение на рис. 9 должно быть весьма зашумленным. Значит, это изображение на самом деле не равно просто произведению двух спектров. Но это вряд ли может помешать выявлению нулей. Вероятнее всего, лишь несколько изменится их положение.)

Конечно, в принципе параллельные темные вертикальные линии на рис. 9. могут быть проявлением нулей спектра неискаженного изображения, но на практике это крайне маловероятно, особенно если (как в данном случае) искаженное изображение, по-видимому, представляет собой снимок земной поверхности. Если пули столь резко выделяются, как на рис. 9. то почти всегда можно быть уверенным в том, что они принадлежат ОПФ. Таким образом, мы принимаем, что на всех темных линиях рис. 9. Поскольку темные линии параллельны, логично предположить, что и и ФРТ являются функциями одной из прямоугольных координат, т. е. и причем оси и и горизонтальны, а оси вертикальны. Таким образом, плохое разрешение, наблюдаемое на рис. 9, б, должно быть связано с линейным смазом (см. табл. 1.1). Расстоянием между соседними темными линиями определяется протяженность Эго убедительно показывает, насколько эффективен метод выявления нулей. Кроме того, сравнительно высокие амплитудные значения каждой светлой вертикальной полосы на рис. 9, 6 говорят о том, что должна весьма резко падать на обоих концах своей протяженности. Конечно, по рис. 9, б невозможно определить точную форму функции (фактически данная ФРТ соответствовала однородному смазу протяженностью 15 элементов изображения), но, зная протяженность а также то. что она резко начинается и резко кончается, уже можно проводить деконволюцию (см. гл. 3 и иллюстрации деконволюции в примере 3) изображения а на рис. 9 с неким набором вариантов функций подходящего вила.

Теперь мы иначе интерпретируем рис. 1, о и 9, а, чтобы проиллюстрировать метол калибровки. Предположим, что изображение а на рис. 9 сформировано несовершенной оптической системой, ФРТ которой, по-видимому, не меняется при записи последующих изображений. Если мы имеем возможность записать одно достоверное изображение (например, а на рис. 1) той же самой сиены, пользуясь другой, хорошо настроенной оптикой, то это изображение может служить для калибровки плохой оптической системы. ФРТ последней находится путем деконволюции искаженного изображения в предположении, что оно есть свертка ФРТ с достоверным изображением. Если искаженное изображение, как обычно, является усеченным, то мы можем применить процедуру расширения границ с перекрыванием (§ 15) и винеровскую фильтрацию (§ 16) для восстановления Если оказывается, что ее форма лишь незначительно изменяется с переменной то можно предположить, что эти изменения связаны только с шумом и погрешностями обработки. Поэтому мы можем получить предполагаемую

(кликните для просмотра скана)

улучшенную оценку ФРТ. вычислив среднюю следующего вида:

где восстановленная но горизонтальной строке (индекс соответствует нижней строке) рис. полное число строк (в этом примере поскольку изображение а на рис. 9 состоит из элементов). На рис. 5, в представлен результат (полученный с использованием константы фильтра соответствующей эффективному уровню зашумленности выполнения указанной последовательности операций в случае, когда рис. рассматривается как достоверное изображение, а рис. 9. а — как искаженное. Этот результат представлен в виде графика (Все следующие иллюстрации в данном примере, кроме рис. тоже представляют собой графики График нормирован к значению 255 в максимуме.

В некоем конкретном приложении может иметься априорная информация, указывающая на то, что функция должна быть более симметричной, чем кривая на рис. . В этом случае мы можем применить линейное растяжение (см. § 46) для получения улучшенной формы ФРТ (например, кривой которая получена из кривой в путем растяжения между значениями, равными 40 и 216).

На рис. 9, б покачан результат калибровки изображения на рис. 1 по изображению а на рис. Сплошная линия на рис. горизонтальный профиль, проходящий через точку наибольшей яркости изображения . В примере I говорилось, что искажение изображения на рис. соответствует ФРТ. имегашей форму кружка (что отвечает расфокусировке, см. табл. 1.1) радиусом 15 элементов изображения. Штриховой линией на рис. показан профиль ФРТ вдоль любой прямой линии на рис. 2, а (где представлен кружок радиусом 15 элементов), проходящей через центр кружка. Таким образом. изображение на рис. 9 лает удовлетворительное приближение к реальной Лучшая оценка ФРТ может быть получена, если, например, имеется априорная информация, указывающая на то, что ФРТ должна иметь форму кружка. Из рис. явствует. что. выполнив усреднение большого числа профилей (сплошных кривых) вдоль разных прямых, проходящих через точку максимальной яркости на рис. 9. и наилучшим образом аппроксимировав полученное среднее кривой прямоугольной формы, мы пришли бы к оценке диаметра кружка, близкой к 15 элементам изображения. Это — пример применения метола радиального усреднения, который пригоден для улучшения оценки любой когда известно, что она обладает свойством круговой симметрии.

Чтобы с максимальной пользой провести усреднение, о котором говорилось выше (или любую другую подобную процедуру), необходимо согласовать константу винеровского фильтра (которая используется при калиброаке искаженного изображения по "достоверному” изображению метолом лсконволюпин) с уровнем зашумленности. Лучше всего выполнить несколько операций деконволюции при разных значениях чтобы получить целый набор оценок Их графики повторяют форму реальной ФРТ (по крайней мере приближенно), но с некоторым пьедесталом. Оптимальная оценка отвечает высоте пьедестала, равной На рис. и показаны результаты радиального усреднения с предварительной калибровкой (изображения на рис. 1 по изображению а на рис. 1) при и 0,01. Пьедестал на рис. 9, з лучше всего согласуется с константой фильтра калибровки.

Изображение, восстановленное с использованием ФРТ, форма которой определена путем калибровки, обычно оказывается более верным, если устранить пьедестал. Чтобы сделать это оптимальным образом, нужно предварительно оцепить протяженность ФРТ. Поэтому наилучшие результаты иногда получаются только после выполнения

нескольких итерационных циклов калибровки и усреднения (см. литературу, ссылки на которую даны в вводных замечаниях к данной главе).

На рис. 9 к показан результат вычисления конечных разностей (первого порядка) последовательных элементов изображения вдоль 160-й горизонтальной строки на рис. 1. Хотя на рис. 1. с мы имеем сильно искаженное изображение, можно с уверенностью утверждать, что эта строка пересекает берег озера вблизи (слева) элемента изображения. Разрешение изображения на рис. таково, что граница раздела суши и волы должна быть “резкой" (т. е. шириной не более одного элемента) на изображении, полученном с помощью хорошо сфокусированной системы, формирующей изображение. Поэтому можно предположить, что большой отрицательный пик на рис. 9, к пропорционален проекции (пол углом 0°. т. е. в горизонтальном направлении) ФРТ, которой обусловлено искажение на рис. (см. §52, второй — четвертый абзацы). На рис. 9. показано, как выглядел бы рис. 9. к, если бы искажение на рис. было обусловлено гауссовской ФРТ. указанной на рис. 2, и. На рис. представлен график конечных разностей первого порядка вдоль 160-й строки рис. 9, а. Большие пики (вблизи элемента) на рис. 9, к — м оказываются отрицательными по той причине, что мы представляем воду меньшими значениями элементов изображения, чем сушу.

Большие пики на рис. 9. к и л имеют весьма сходную форму, и это говорит о том, что процедуру выявления границ нужно выполнять очень тщательно, если требуется надежно различить разные типы ФРТ. В то же время большой пик на рис. явно не можег быть проекцией ни кружка, ни гауссовской ФРТ. Это оказывается столь очевидным по той причине, что рис. 9, а был искажен одномерной . В одномерном случае проекция ФРТ и сама ФРТ имеют одинаковую форму, хотя одна из них растянута относительно другой, если проекция не перпендикулярна направлению искажения (что мы имеем в случае рис. Наличие “пульсации” на нижнем конце большого отрицательною пика на рис. 9. может навести на мысль, что ФРТ, связанная с рис. 9. а, должна соответствовать неоднородному линейному смазу (такому, как в табл. 1.1). Но если бы мы рассчитали графики конечных разностей поперек всех границ суша — вола, которые смогли бы с уверенностью выявить на рис. 9, а, а затем провели их усреднение, то в результате форма большого отрицательною пика оказалась бы гораздо более близкой к прямоугольной (т. е. размах упомянутых пульсаций на рис. заметно уменьшился бы).

Еще раз подчеркнем то. что было только что сказано. Проекцию ФРТ можно рассматривать как искаженную. Поэтому нужно очень точно рассчитывать формы проекций, если мы хотим успешно реконструировать форму ФРТ методами, изложенными в гл. 5. Это означает, что нужно рассчитывать как можно больше проекций и пол всеми возможными углами, чюбы получить наилучший возможный набор проекций ФРТ.