§ 21. Фурье-голография

В настоящее время успешно решено достаточно большое число двумерных фазовых задач (и не только в случае идеальных данных, синтезированных на ЭВМ, - были также обработаны результаты многих лабораторных и других экспериментальных измерений), так что можно не сомневаться в возможности восстановления формы изображения только по модулю спектра почти в любой ситуации, имеющей практическое значение. (Конечно, измерения должны быть проведены достаточно точно, чтобы исходные данные действительно

соответствовали форме изображения, которую требуется восстановить.) Однако для реализации соответствующего метола решения (см. § 23) требуется большой объем вычислений, что всегда не очень желательно. В данном параграфе рассматривается класс фазовых задач в частотной плоскости, которые решаются сравнительно просто.

Суть фурье-голографии в том, что рассматриваемое изображение должно содержать некоторый известный опорный участок. Последний задается в явном или неявном виде с помощью дополнительного условия. Неизвестную часть изображения обозначим через Поскольку опорный участок изображения играет роль, аналогичную ФРТ в других главах настоящей книги, для удобства обозначим его тоже через Таким образом, полное истинное изображение дается выражением

По теоремам об автокорреляции и корреляции (см. § 7) фурье-образ заданного квадрата модуля спектра равен

Фазовая задача в частотной плоскости существенно упрощается, если можно изолировать последние два члена в выражении (21.2). Это часто достигается в случае смещенного опорного участка изображения, т. е. в случае, когда области плоскости изображения, занимаемые неизвестной частью изображения и опорным участком изображения могут быть ограничены двумя неперекрываюшимися кадрами. Ось выберем так, чтобы она проходила вдоль отрезка прямой линии (длиной который называется разделяющим промежуткомг, соединяющего внешние границы этих двух областей. Условие смещенности

гарантирует отсутствие перекрывания кадров (см. § 7) опорного участка изображения и неизвестной части изображения:

Назовем шириной наибольшую из х-протяженностей кадров и обозначим ее через

(здесь применены обозначения, введенные в § 7). Для удобства начало координат в плоскости изображения выберем в средней точке отрезка -протяженности кадра

Прежде чем анализировать следствия условия (21.3), рассмотрим

более жесткое условие разделяющего смещения

Из формул (21.2) и (21.5) в этом случае следует что калр не перекрывается с кадрами изображений, соответствующих другим трем членам в выражении (21.2). Кадры и налагаются друг на друга, поскольку оба они имеют центр в начале координат плоскости изображения, тогда как кадр отделен от них по другую сторону от кадра Таким образом, путем просмотра можно выявить член в выражении (21.2), выделить его из и ввести в ЗУ для дальнейшей обработки.

Наиболее непосредственным примером голографического подхода, обсуждаемым в данном параграфе и, вероятно, наиболее близким к тому, что обычно считают «настоящей голографией», является элементарная голография со смещенным опорным участком изображения. Она характеризуется условием разделяющего смешения (21.6) и тем, что опорный участок не разрешается изображающей системой, которая измеряет модуль спектра Нормируя для удобства полную яркость (или интенсивность) опорного участка к единице, его неразрешимость выразим условием

Определения, введенные в последнем абзаце § 6, показывают, что в этом случае

Итак, фазовая задача в частотной плоскости решена (практически тривиально).

Подчеркнем, что таким методом можно восстановить только форму изображения поскольку фаза совершенно не входит в исходные данные. Следовательно, было бы вполне достаточно выделить и записать в ЗУ корреляцию и тогда в результате восстановления мы получили бы зеркальную копию изображения Но нет никаких оснований предпочесть изображение изображению и наоборот. Этот вывод, конечно, приложим к любому голографическому решению фазовой задачи.

При простом голографическом подходе со смещенным опорным участком требуется, чтобы была задана форма изображения и выполнялось неравенство (21.6). Поскольку из выражений (7.5) и (7.6) явствует, что

изображение можно восстановить по корреляции пользуясь соответствующим методом деконволюции, выбранным из описанных в гл. 3. Априори нельзя утверждать, что выражение

не равно выражению Стало быть, нужно выполнить операцию деконволюции сначала с функцией а затем с функцией Болес компактное из полученных изображений должно соответствовать форме изображения поскольку менее компактное изображение есть фурье-образ либо выражения фаза либо выражения фаза Поэтому фазовая задача снова решается сравнительно просто.

Голографический подход со смещенным опорным участком характеризуется условием (21.3) и заданной формой изображения Форму неизвестной части изображения можно, однако, восстановить довольно просто при условии, что эта часть достаточно мала по сравнению с опорным участком изображения так что выражение

является хорошим приближением (в том смысле, что описываемая ниже итерационная процедура сходится). Из условия (21.3) следует, что кадры изображений и не перекрываются, так что можно выделить и записать в дальнейшей обработки оценку либо выражения либо выражения поскольку мы ищем только форму изображения. Соотношение (21.9) снова показывает, что можно получить оценку неизвестной части изображения на основе операции деконволюции, применив записанную в ЗУ оценку тогда из выражения (21.2) мы видим, что приближенная формула (21.10) может быть улучшена:

Таким образом получается новая опенка выражения так что можно построить новую оценку неизвестной части изображения с помошью операции деконволюции, которую можно снова подставить в левую часть соотношения (21.11) и т. д. Итерации должны повторяться до тех пор, пока различия между последовательными оценками не станут меньше некоторого порога «неопределенности», который определяется рассчитанным «уровнем шума». Можно рассматривать такой способ решения как простой аналог «метода тяжелого атома», применяемого в рентгеновской кристаллографии [опорный участок изображения соответствует «тяжелому атому», поскольку он доминирует в выражении в том смысле, что в первом приближении выражением можно пренебречь).

Существует еще один интересный голографический подход — модифицированный

дифицированный голографический подход со смещенным опорным участком, который характеризуется тем, что задается просто модуль спектра а не полный спектр или, что эквивалентно, опорный участок изображения Методами, описываемыми в § 22 и 23, по модулю спектра восстанавливается форма опорного участка изображения Поскольку не известно, соответствует ли найденная таким образом форма изображения изображению или его зеркальной копии изображения в кадрах и записываются в ЗУ отдельно и подвергаются упомянутой выше операции деконволюции для восстановления формы изображения После того как итерации завершены, та оценка неизвестной части изображения которая является наиболее компактной (см. § 7), принимается за искомую форму изображения. Форма изображения может быть восстановлена даже в одномерном случае методом согласованной деконволюции (см. § 13 и 19 относительно всех обозначений). По записанному в ЗУ изображению в кадре и заданному спектру вычисляются множества нулей Поскольку мы имеем

можно выявить путем просмотра те нули которые соответствуют нулям на основании чего выдели нули и восстановить неизвестную часть изображения Описанную процедуру можно распространить на двумерный случай, хотя это вряд ли целесообразно, так как в настоящее время решения двумерных фазовых задач получаются очень легко. Процедура начинается с расчета проекций (см. § 9) изображения на кадре Обозначив проекцию под углом 6 через при любом значении угла заменим нижний индекс в формуле (21.12) символом Нижний индекс И в формулах (21.12) и (21.13) удобно заменить символом и тогда будет множеством нулей, которое рассчитывается по заданному модулю спектра при значениях и, которые соответствуют прямой линии, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом к оси и. Таким путем можно получить множество нулей, соответствующих проекции под углом формы изображения Далее проекции восстанавливаются для любого числа значений , необходимого для восстановления формы изображения обычными методами (см. § 25 и 33).

Когда кадр изображения и кадр произвольного опорного участка (или кадры любых опорных участков) изображения налагаются

друг на друга, так что условие не выполняется, фазовую задачу все-таки можно сравнительно просто решить, если обратиться к голографическому подходу с тремя опорными участками. При этом подходе должны быть заданы формы трех раздельных опорных участков где и 3. Кроме трех опорных участков должны быть заданы три модуля спектра являющиеся фурье-образами функций

Тогда величины в формуле (21.2) можно заменить величинами Определим

с различными парами индексов принимающих значения 1, 2 или 3. Но, чтобы восстановить изображение необходимо использовать только две разные пары значений Учитывая, что изображение имеет вещественные значения, в силу формулы (8.2) и теоремы о корреляции (7.8) имеем

где

Для каждой точки и в частотной плоскости напишем

где вещественные значения. Все величины могут быть вычислены непосредственно по исходным данным. Подставляя выражения (21.18) в формулу (21.16) и учитывая, что модули спектров и опорные участки изображения заданы при трех значениях мы видим, что в двух линейных алгебраических уравнениях

имеются только две неизвестные величины

Отсюда следует, что фазовая задача решается, поскольку величины находятся при всех значениях , а это дает возможность восстановить форму изображения по его фурье-образу. Такой метод решения аналогичен методу «изоморфного замещения», применяемому кристаллографами.

Голографический метод тройной автокорреляции, последний из «голографических» методов, рассматриваемых в данном параграфе, приложим в том случае, когда истинное изображение содержит

изолированные бесструктурные «точки», т. е.

где положительные константы, постоянные радиус-векторы. Вместо задания опорного участка задается условие в котором значения

различны для разных пар целых чисел каждое из которых изменяется от Для удобства введем две неодинаковые пары фиксированных целых чисел (выбираемых произвольно из множества при условии лишь, что а также обозначение

для автокорреляции (эта величина при всех методах, обсуждаемых в данной главе, находится по заданному квадрату модуля спектра с помощью преобразования Фурье). Из формулы (21.20) явствует, что тройное произведение

равно нулю всюду, кроме некой совокупности «точек», имеющих такое же относительное положение и такую же относительную яркость, как и изображения или определенные формулой (21.20). Следовательно, фазовая задача решается просто. Подчеркнем, однако, то равенство (21.23) в обшем случае справедливо лишь при условии, что разности всех значений превышают дифракционный предел системы, формирующей изображение. Такой метод аналогичен методам «произведения» и «суперпозиции» в рентгеновской кристаллографии. Если наши математические рассуждения покажутся читателю слишком сложными, он может убедиться в правильности данной процедуры на конкретном примере, взяв три одинаковых изображения выполненных на прозрачной бумаге (чтобы их можно было смешать друг по другу, видя все три одновременно).