§ 9. Проекции

В данном параграфе мы представим ряд несколько разрозненных результатов. Мы будем обращаться к ним в основном в гл. 5, но они необходимы и в других частях книги.

Рассмотрим прямоугольную систему координат повернутую в плоскости изображения на угол относительно прямоугольной системы координат , а также прямоугольную систему координат , повернутую в частотной плоскости на тот же самый угол относительно прямоугольной системы координат Из элементарных соображений аналитической геометрии следует, что

где произвольное изображение в кадре причем

Объединяя соотношения (9.1) и (9.2) с соотношениями (6.11) и (6.12) и полагая получаем

поскольку величину можно представить не только в виде но и в ппдде

Проекцией (под углом называется величина

Такое название очень понятно, если функция удовлетворяет условию (3.10), поскольку при любом конкретном значении выражение (9.4) дает проинтегрированную интенсивность изображения вдоль луча, параллельного оси проходящего на расстоянии от начала координат, т. е. есть интенсивность, проецируемая в -направлении. Подставляя определение (9.4) в выражение (9.3) и заменяя параметр а полярной координатой получаем

Данное равенство назовем теоремой о проекции в двумерном случае. Пользуясь обозначениями эту теорему можно записать

в другом пиле:

Функция удобно представить в виде тригонометрических рядов Фурье (см. § 10) по углу

где удобства в дальнейшем введены обозначения Если подставить ряды (9.7) в выражении (9.5) или (9.6), то, как легко видеть, при любом целом

поскольку при любых целых имеем

где дельтасимвол Кронекери. Нижние индексы у символов в формуле (9.8) не относятся к переменным преобразованиям, поскольку эти индексы не заключены скобки. Далее, для удобства можно выразить функцию через полярные координаты в плоскости изображения и записать ее в виде другого тригонометрического ряда:

Напомним еще следующую формулу:

где функция Бесселя первого рода порядка Вспоминая соотношения (6.11). подставляя ряд (9.10) и первый из рядов (9.7) в выражение (6.12), на основании формул (9.9) и (9.11) получаем

и

Аналогично выражение (6,13) дает

Интегральные формулы (9.12) и (9.13) называются преобразованиями Ганкеля порядка Если подставить выражение (9.12) в формулу (9.13), то по аналогии с формулами (6.2) и (6.10) должно получиться

Так и получается: формула (8) из § 5.11 книги [49] позволяет сразу же взять соответствующий неопределенный интеграл. При подстановке в первообразную нижнего предела получаем нуль. При подстановке же верхнем о предела с учетом асимптотических формул для функций Бесселя получаем

Вспоминая формулу (6.3), мы видим, что формула (9.14) верна.

Из определения (9.4) следует равенство

С учетом этого вторая формула (9.7) дает

Тогда из формулы (9.8) и определений (6.1) вытекает равенство

Следовательно, четные и нечетные коэффициенты в рядах Фурье (9.7) сами являются четными и нечетными, соответственно, функциями своих аргументов.

Определим проинтегрированное изображение следующим образом:

Из формул (9.1) и (9.4) следует, что

Это соотношение мы будем называть главным условием согласованности для проекций.