§ 10. Ряды Фурье и теорема отсчетов

В том случае, когда истинное изображение имеет конечные размеры (см. § 7), часто оказывается удобным совместить центр его кадра и у-протяженности которого обозначим через и 12) с началом координат на плоскости изображения:

В пределах этого кадра изображение может быть представлено в виде тригонометрического ряда Фурье:

где постоянные, которые называются коэффициентами Фурье, в силу условия (3.10) удовлетворяющие соотношению

Целые числа в принципе могут быть бесконечно большими. Но на практике изображения никогда не свободны от шума. Очевидно, что не имеет смысла пытаться воспроизводить в изображении детали, которые лежат ниже уровня «шума». Поскольку коэффициенты должны весьма быстро уменьшаться с увеличением и при значениях превышающих некоторые целые числа (обозначим их через ( соответственно), можно учитывать лишь конечное число коэффициентов Фурье. Но нужно помнить, что числа и обычно увеличиваются с уменьшением уровня шума — чем выше качество изображения, тем больше коэффициентов Фурье приходится учитывать.

Подставляя условие (10.1) и ряд (10.2) в формулу (6.12) и используя определение (6.4), получаем

Из определения (6.4) функции явствует, что при любых неодинаковых целых числах и к справедливы равенства

откуда с учетом разложения в ряд (10.4) следует, что

Формула (10.6) выражает двумерную теорему отсчетов; одномерный ее вариант можно получить, положив либо при либо при Смысл этой теоремы состоит в том, что изображение конечного размера может быть точно представлено в частотной плоскости отсчетами спектра [т. е. дискретными значениями функции в отдельных точках], расстояние между которыми равно обратным величинам сторон любого прямоугольника, в который вписано данное изображение. Часто (но, конечно, не всегда, см. § 11) бывает удобно принимать для величин и I, их минимально допустимые значения. В любой практической ситуации достаточно использовать некое конечное число отсчетов. Заметим, что отсчеты, рассматриваемые выше, являются значениями функции в точках растра, как в § 11. Интервалы дискретизации, неявным образом входящие в соотношение (10.6), равные в направлении оси и и в направлении оси у, называются интервалами Найквиста в и у-направлениях, соответственно.

Введем теперь периодическое изображение повторяющееся в плоскости изображения на идентичных смежных прямоугольных кадрах, протяженности которых в раз больше протяженностей кадра любое положительное целое число). Кадр с индексами обозначаемый здесь через занимает область где целые числа изменяются от до да. Далее, введем кадры которые занимают области Заметим, что каждый кадр занимает центральный прямоугольник с размерами и каждого кадра Теперь периодическое изображение можно определить в виде

где часть кадра не занимаемая кадром Отсюда получим

при причем целые числа достаточно велики, чтобы выражение (10.8) описывало изображение с той же точностью, с какой выражение (10.2) описывает изображение

конечного размера, и

Далее, с учетом определения (6.3) имеем

Заметим, что функция определена только в точках частотной плоскости.