§ 14. Задача деконволюции

Приведем здесь еще раз формулу (3.4):

По теореме о свертке (7.7) фурье-образ величины (14.1) равен

причем входящие в это соотношение три величины определены (соответственно) в формулах (6.12), (12.9) и в тексте перед формулой (8.13).

Идеализированная задача конечной деконволюции такова: заданы функции и требуется восстановить функцию при условии, что все три величины имеют конечную протяженность (см. § 7).

Из соотношения (14.2) следует, что задачу можно решить следующим образом:

Операция деления внутри фигурных скобок в выражении (14.3) называется простой инверсной фильтрацией. Термин «фильтрация» здесь употребляется по аналогии с классической теорией цепей и современной теорией обработки сигналов. Классический фильтр представляет собой устройство, которое изменяет спектр временных частот сигнала. Спектр есть функция пространственной частоты (см. § 6).

Оптическая передаточная функция изменяет спектр пространственных частот в результате применения указанной выше операции деления.

Поскольку обработанные изображения обычно хранятся в памяти ЭВМ в виде квантованных значений, в технике обработки изображений, как правило, используются цифровые, а не классические аналоговые фильтры. Цифровой фильтр определяется дискретным массивом, вообше говоря, комплексных чисел, который изменяет в процессе некоторой операции обработки спектр пространственных частот. Следовательно, обе функции, в формуле (14.1) и в формуле (14.2), могут рассматриваться как фильтры (и в большей части приложений они реализуются в цифровом виде). Общепринятая классификация цифровых фильтров возникла в теории обработки сигналов как функций времени, и этой классификацией можно пользоваться в теории обработки одномерных изображений, т. е. сигналов как функций (одной) пространственной переменной. Мы перенесем соответствующую терминолог на двумерный случай. Понятие «отсчета» в теории обработки сигналов переходит в понятие «элемента изображения» в теории обработки изображений. Как отсчеты, так и элементы изображений должны квантоваться по амплитуде до их цифровой обработки. Изображение, к которому должна быть применена операция фильтрации, называется заданным изображением, и о нем говорят как о состоящем из заданных элементов изображения. Элементы профильтрованного изображения называются выходными элементами изображения. В случае нерекурсивного цифрового фильтра каждый выходной элемент изображения представляет собой взвешенную сумму заданных элементов изображения. В случае же рекурсивного цифрового фильтра каждый выходной элемент изображения есть взвешенная сумма заданных элементов изображения и рассчитанных ранее выходных элементов изображения. Все практически реализуемые цифровые фильтры, конечно, описываются массивами конечных размеров, протяженности которых в плоскости изображения и частотной плоскости удобно характеризовать терминами, введенными в § 7 после формулы (7.11) (в одномерном случае конечный фильтр часто называют коротким). Цифровой фильтр называется прямым, если он применяется в плоскости изображения, и спектральным — если он применяется в частотной плоскости. Каузальный фильтр является

односторонним в том смысле, что его отклик всегда отстает от входного воздействия (это несколько искусственно в двумерном случае, но, конечно, имеет очень важное значение для операций одномерной фильтрации, которые лежат в основе обработки сигналов как функций времени). Каузальные фильтры почти всегда реализуются как прямые. Мультипликативный цифровой фильтр представляет собой спектральный фильтр, в котором каждый выходной отсчет получается как произведение заданного элемента входного сигнала на один элемент массива фильтра.

В данной главе, особенно в § 15 и 16, много внимания будет уделено мультипликативным фильтрам. Рекурсивные и нерекурсивные фильтры обсуждаются в § 18.

Если бы все существенные стороны практических задач деконволюции сводились к формуле (14.3), то все содержание настоящей главы можно было легко вместить в § 7. Однако в задаче деконволюции встречается очень много практических трудностей! Это объясняется тем, что обрабатываемые данные на практике всегда искажены.

Прежде чем ставить практическую задачу деконволюции, исследуем некоторые свойства согласованности сверток.

В одномерном случае соотношение (14.2) представляется в виде

где вещественная переменная и заменена комплексной переменной как в формуле (13.4). Если функции имеют конечную протяженность, так что протяженность функции тоже конечна (см. теорему о протяженности свертки в § 7), то их спектры характеризуются множествами нулей в комплексной -плоскости (см. § 13). Вспоминая обозначения, введенные в абзаце, содержащем формулы (13.12) и (13.13), напишем

Это означает, что одномерная задача деконволюции является согласованной только в том случае, если все нули функции будут также и нулями функции Следовательно, величины нельзя задавать независимо; заранее должно быть известно, что они удовлетворяют соотношению (14.1). То же относится и к двумерным сверткам.

Теперь вернемся к периодически продолженному (с перекрыванием) идеальному искаженному изображению [формула (12.6)] и к его спектру [формула (12.12)]. Последний можно с учетом формулы (12.13) записать в виде

где коэффициенты Фурье истинного изображения [формула (10.2)], являющиеся также отсчетами" функции которые рассматриваются в теореме отсчетов. Эти отсчеты берутся точках растра в частотной плоскости, как это можно видеть из формулы (10.4). Величины входящие в выражение (14.6) — это отсчеты ОПФ (см. § 8) в тех же самых точках растра:

произвольные целые числа.

Теперь мы можем поставить идеализированную задачу периодической деконволюции: заданы функции и требуется найти функцию [зная, что функции конечной протяженности, периодическая функция вида (12.6)].

По заданной функции можно рассчитать функцию и сразу же найти, что

как это следует из выражений (12.10) и (12.12). Аналогичным образом вычисляются отсчеты Из выражения (14.6) видно, что каждое значение лается операцией деления которая всегда может быть выполнена, если значения отличны от нуля. Такой простой подход адекватен в случае функций выбранных достаточно независимо, поскольку функция в соответсгвии с выражением (14.6) фактически существует только вышеупомянутых точках растра. Но подобный подход неприемлем в идеализированной задаче в случае конечной сверчки, так как тогда непрерывная функция переменной и.

Поэтому удивительно, что единственным условием согласованности для периодических сверток типа (12.6) оказывается требование, чтобы величины могли быть нулевыми только при тех значениях при которых Это условие называется условием согласованности периодических сверток. Подчеркнем, что ни одна величина не может быть точно равна нулю при реальном измерении функции или, что эквивалентно, функции так что периодические свертки всегда на практике являются согласованными (они, конечно, очень сильно зашумлены, когда большое число величин «малы» при значениях отвечающих существенно отличным от нуля значениям величин Этот вопрос рассматривается далее в § 15 и 18.

Искажения, которые имеют место на практике, хорошо моделируются выражением для записываемого изображения введенным в § 4, но только в формуле (4.1) не учитывается явным образом, что любое фактически записанное изображение должно существовать на конечном кадре.

Практическая задача деконволюции ставится следующим образом: заданы функции требуется найти функцию зная, что усеченный вариант функции определенной выражением (4.1).

Одно из «золотых правил» в задаче реконструкции изображений состоит в том, что следует избегать обработки данных, содержащих какие-либо разрывы непрерывности, из которых наиболее нежелательны обрезания и усечения, поскольку при их наличии почти всегда возникают ложные детали (часто называемые артефактами, особенно в медицинских приложениях). Таким образом, как правило, желательно проводить предварительную обработку изображения чтобы но возможности полностью компенсировать все имеющиеся в них разрывы и другие устранимые дефекты. Методы предварительной обработки будут описаны в § 15.

Любой предварительной обработки может, конечно, вносить свой шум в добавление к искажению изображения уже имеющемуся в записываемом изображении Но если разрывы не устранены, то соответствующие артефакты, как правило, преобладают над любым дополнительным шумом, вносимым предварительной обработкой. «Выравненную» форму изображения мы обозначим здесь через и будем называть предварительно обработанным записанным изображением. Хотя в результате проведения предварительной обработки в выражении (4.1) должны изменяться все три величины, редко имеется какой-либо способ оценить, насколько именно, а потому обычно не имеет смысла говорить о различии между изображениями Далее мы будем рассматривать эти два изображения как идентичные, по крайней мере на том кадре 9.а (т. е. в той области плоскости изображения), где умещается предварительно обработанный вариант изображения Поэтому будем считать, что

Такое предположение не сказывается на общности рассуждений, поскольку шум включает эффекты произвольного аддитивного искажения. связанного с предварительной обработкой.

Теперь введем понятие «восстановимого истинного изображения» Это оценка изображения которую можно получить, исходя из изображения одним из конкретных методов (например, любым из методов, описанных в § 16—19).

При любом рациональном полходе к решению практической задачи деконволюции сначала получаю! предварительно обработанное изображение заданного изображения Затем выбирается подходящая процедура деконволюции (см. § 16—19) для получения на основе Некоторые из этих процедур можно рассматривать как процесс получения модифицированной ФРТ , которая связана с предварительно обработанным записанным изображением и восстановимым истинным изображением соотношением

Коэффициенты Фурье функции (определенные в § 10) удобно обозначить через , а для обозначения спектров функций и использовать соответствующие заглавные буквы со «шляпкой» или без нее.

Нели сеть опасение, что различия между сильно увеличатся из-за отсутствия согласованности между функциями взятыми явно конечными, то можно обратиться к формуле (12.6) для периодического изображения с заменой на . Тогда спектр свертки дается выражением (14.6), но с заменой величин величинами соответственно. Напомним, что на периодические свертки не оказывает влияния несогласованность, которая, как уже говорилось, может искажать свертки величин, имеющих конечные протяженности.