§ 27. Залача ВТ на эффекте рассеяния как локационная залача

Предположим, что некое тело или некая область пространства зондируется параллельным пучком излучения и отдельно от них расположенные детекторы регистрируют рассеянное излучение. Если нас интересует только одно сечение (отвечающее значению тела или области и если лучи прямые, то тогда вполне достаточно рассматривать одну плоскост коэффициент рассеяния в которой (на единицу

объема) обозначим через Предположим, также, что мы хотим выполнить столько измерений, сколько необходимо, чтобы успешно реконструировать изображение распределения коэффициента рассеяния по данному сечению. Такая задача встречается в следующих важных практических приложениях.

1. Радиолокация (бистатическая и моностатическая). Исследуемая область однородна, а рассеиватели изолированны.

2. Гидролокация (бистатическая и моностатическая) и медицинская акустическая интроскопия. Неоднородности (например, изменена акустического показателя преломления) в исследуемой области малы, и рассеиватели изолированны. Однако в медицинской ультразвуковой интроскопии в большинстве случаев значительно искажение волнового фронта, эквивалентное «искривлению» лучей (соответствующие выводы для ВТ обсуждаются в § 32).

3. Томография на основе комптоновского рассеяния. Тело зондируется рентгеновским излучением, регистрируется излучение, возникающее вследствие комптоновского рассеяния.

Предположим, что рассеиватели находятся внутри окружности радиусом т.е. выполняются условия (25.1). Оптическая ось коллимированного источника излучения идет параллельно оси у на расстоянии X от нее. Источник излучения расположен вне окружности радиусом Этот источник дает зондирующий луч. Оптическая ось детектора излучения, тоже находящегося вне указанной окружности, идет параллельно отрицательной полуоси на расстоянии от нее (в данном параграфе угол считается фиксированным, а не переменным, как в § 25 и 26). Детектор регистрирует излучение, идущее от точки рассеяния с -координатами , координаты которой равны Заметим, что

Поскольку рассеяние происходит на угол относительно направления зондирующего луча, строго говоря, изображение должно записываться как , а не просто Мы оставим для простоты и единства обозначений последнюю форму, но не будем забывать о неявной зависимости от угла Дело в том, что в большинстве процессов рассеяния интенсивность рассеяния сильно изменяется при изменении угла рассеяния.

Итак, в случае идеальной системы визуализации за счет рассеяния изображение формируется непосредственно. Однако при этом мы пренебрегаем ослаблением излучения средой, в которой находятся рассеиватели (в большинстве случаев, конечно, рассеяние и ослабление излучения вызывает одна и та же среда). Такое приближение обычно

оказывается удовлетворительным в радиолокационных приложениях. Во многих же гидролокаиионных и медицинских ультразвуковых приложениях эффекты ослабления излучения могу учитываться с приемлемой степенью приближения путем предварительного вычисления (подобно приближенному подходу к ОЭВТ, описанному в конце § 26) усредненного коэффициента ослабления. Ослабление обычно очень существенно в томографии, основанной на комптоновском рассеянии.

Еще один фактор, который не учитывается в идеальном случае, — это предел разрешения, устанавливаемый, во-первых, конечным сечением зондирующего луча и конечной чувствительной площадью детекторов и, во-вторых, конечной угловой шириной как зондирующего луча, так и пучка, регистрируемого детектором. В томографии на комптоновском рассеянии расходимостью зондирующего луча можно пренебречь, но ширина входной щели детектора на практике может быть очень узкой, поскольку основным ограничением такого рола системы является, видимо, малая плотность потока фотонов, в связи с чем для получения приемлемого отношения сигнал/шум необходим сравнительно широкий вход. Ширину радио- и ультразвуковых пучков всегда следует учитывать в расчетах исследуемых систем.

Мы будем в явной форме учитывать эффект ослабления излучения. Но ограничение разрешения не будем специально рассматривать (конечно, оно подразумевается, и его можно учесть так, как показано в § 25 и 26; см. также анализ, проводимый в § 28).

Коэффициент ослабления излучения (на единицу длины) обозначим, как и в § 26, через Интенсивность излучения удобно нормировать так, чтобы интенсивность, которая была бы в точке рассеяния, если бы коэффициент ослабления был тождественно равен нулю, была равна единице. Таким образом, при эта интенсивность представляется в виде

где бесконечный нижний предел интегрирования просто показывает, что зондирующий пучок пересекает все сечение, и

Излучение, исходящее из точки рассеяния, расходится подобно излучению «точечного источника», т.е. его интенсивность уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, как и в случае ослабления. Поэтому, как и в § 26, регистрируемая интенсивность излучения зависит от положения детектора вдоль луча, идущего параллельно отрицательной полуоси на расстоянии от нее. Для определенности

будем считать, что матрица детекторов расположена таким образом, что ее передняя поверхность параллельна оси и находится на расстоянии от нее (оптическая ось каждого детектора параллельна отрицательной полуоси Следовательно, интенсивность, регистрируемая детектором, направленным на данную точку рассеяния, находится путем умножения величины даваемой выражением (27.2), на коэффициент рассеяния коэффициент «расплывания» , где

и на коэффициент ослабления

где бесконечный верхний предел просто показывает, что рассеянная энергия регистрируется вне данного сечении.

Таким образом, интенсивность излучения, регистрируемую детектором, направленным в данную точку рассеяния, можно представить в виде

а смысл нижнего индекса мы объясним ниже.

Изменяя координату источника зондирующего излучения и регистрируя в положении источника выходные данные всех детекторов матрицы, получают значения при всех необходимых значениях отвечающие одному фиксированному значению Но этих данных мало для реконструкции изображения. Нужно еще расположить источник зондирующего излучения и матрицу детекторов противоположно предыдущему. В этом случае источник зондирующего излучения располагается на некотором расстоянии так, чтобы его оптическая ось шла параллельно положи гельной полуоси на расстоянии от нее. Рассмотрим тот детектор матрицы, перенесенной в новое положение, который расположен в точке и оптическая ось которого идет параллельно положительной полуоси на расстоянии от нее. Точка, зондируемая лучом и наблюдаемая детектором, та же самая, что выше, точка рассеяния. Кроме того, тем же самым будет и угол рассеяния, так что коэффициент рассеяния остается равным Таким образом, вводя нижний индекс для того, чтобы отличить новую регистрируемую интенсивность от измеренной ранее, получим

где величины указывают, что зондирующий луч и регистрируемый рассеянный луч распространяются в направлениях отрицательных полуосей у и , соответственно.

Задача ВТ на эффекте рассеяния, или локационная задача, ставится следующим образом: заданы проекции при отвечающие некоторому фиксированному значению , требуется реконструировать функцию считая, что проекции определены выражениями (27.5) и (27.6).

Поскольку положение гочки рассеяния известно, на основе исходных данных можно вычислить

Используя выражения (27.5) и (27.6) и учитывая равенства

получаем

где

Интеграл в выражении (27.10) берется по прямой линии, идущей параллельно оси 77 на расстоянии от нее. В случае томографической системы на эффек те рассеяния (определенной ранее в данном параграфе) мы имеем так что

в силу формулы (27.9). Как отмечалось ранее, задачу получения изображений за счет рассеяния можно тогда сразу же решить; по аналогии с § 26 ее следует назвать идеализированной задачей ВТ на эффекте рассеяния, поскольку рассеиватели должны размешаться в свободном пространстве без какой-либо поддержки со стороны окружающей среды. Естественно, что этот случай очень близок случаю обычной радиолокации.

В силу изложенного в § 25 можно переписать формулу (27.10) в следующем виде:

где обычная проекция через среду, ослабляющую излучение. Таким образом, кроме рассматривавшейся выше матрицы детекторов, нужно еще поместить в некоторой точке детектор с оптической осью, идущей параллельно отрицательной полуоси у на расстоянии X от нее. Перемещая этот вспомогательный детектор вместе с зондирующим лучом, можно измерить величину при Если выполнить обычные измерения ВТ вдоль всех необходимых лучей, параллельных оси , с использованием третьего зондирующего пучка и второго дополнительного детектора, то мы получим величину Поэтому реальная задача ВТ на эффекте рассеяния ставится следующим образом: заданы значения и при отвечающие некоторому фиксированному значению требуется реконструировать функцию считая, что определяются выражениями (27.5), (27.6) и (27.10). Из формул (27.7) ни (27.9) явствует, что функция сразу же реконструируется по исходным данным, поскольку значение можно рассчитать для каждой точки рассеяния, коль скоро известна геометрия системы, формирующей изображение за счет рассеяния.