2. Преобразование Фурье

Методы восстановления и реконструкции изображений, излагаемые в данной книге, почти полностью основываются на свойствах преобразования Фурье. В данной главе вводится преобразование Фурье, исследуются некоторые его особенности и выводится ряд теорем, связанных с его использованием. К полученным здесь результатам мы будем обращаться на протяжении всей книги, в чем можно видеть свидетельство большой практической ценности метода Фурье.

Различные стороны вопроса, рассматриваемого в данной главе (§ 6—13), освешаются в большей части книг, указанных в списке литературы. Особо отметим книги [7, 8, 10, 14, 20, 29, 44].

В § 6 мы введем преобразование Фурье [8], функцию дельтафункцию, понятия частотной плоскости и спектра пространственных частот, равенство Парсеваля. Определение операций свертки и корреляции в § 7 приводит к теоремам о свертке, корреляции и автокорреляции и. наконец, к рассмотрению понятий размеров и кадров изображений. В § 8 исследуются следствия, вытекающие из свойств вещественности и неотрицательности значений изображения. Кроме того, устанавливаются соотношения между фокальной плоскостью и плоскостью изображения и между плоскостью зрачка и частотной плоскостью. Вводятся также понятия эквивалентного планарного распределения источников, функции аподизацни и оптической передаточной функции.

В § 9 дается определение проекций и приводится теорема о проекции [182 — 184], после чего с помощью тригонометрических рядов Фурье вводятся дельта-символ Кронекера и преобразование Ганкеля [182]. В § 10 довольно подробно рассматриваются тригонометрические ряды, от которых мы переходим к теореме отсчетов и периодическим изображениям.

Многие методы, излагаемые в последующих главах, в значительной мере базируются на понятиях дискретизации [8], интерполяции [29] и экстраполяции [44]. Этим понятиям посвящен § 11, причем основное внимание уделяется интерполяции по Лагранжу [16] и

интерполяции Гсрхберга [138, 139]. Из работ [29, 34, 44, 283] явствует, что по одномерной интерполяции существует огромная литература. Хотя, конечно, двумерная интерполяция, представляющая основной интерес в данной книге, систематически исследуется [125], еще далеко не все известно о том, каким образом точно и эффективно выполнять гладкую интерполяцию такого рода. Поэтому мы обращаем особое внимание на полиномы Лагранжа комплексной переменной, достоинства которых еще не все оценили в полной мере [82].

В данной книге многие методы исследуются и описываются с использованием (но крайней мере кусочно) непрерывных и дифференцируемых функций. Реализация же этих методов на ЭВМ должна быть обязательно цифровой и дискретной. Непрерывный и дискретный анализ мы свяжем на основе дискретного преобразования Фурье в § 12, где вводятся два важных понятия: кадра ФРТ и периодически продолженного (с перекрыванием) идеального искаженного изображения. Там же мы опишем практическую реализацию дискретног о преобразования Фурье на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) [9, 28, 86, 99] (дальнейшее исследование этого вопроса можно найти в § 48).

Понятия комплексной частотной плоскости и комплексных нулей, которые периодически служили темой наших исследований в Кентерберийском университете [65—67, 70, 81, 209], обсуждаются в § 13.

В примере 2 иллюстрируются случаи, в которых может быть успешно использован алгоритм БПФ. Подчеркнем, что в настоящее время почти всегда, когда требуется численно рассчитать фурье-образ, обращаются к алгоритму БПФ.