§ 19. Согласованная деконволюция

Один из выводов, сделанных в § 14, состоит в том, что с периодическими свертками значительно меньше трудностей, относящихся к взаимной согласованности изображения и ФРТ , чем с конечными свертками. Теперь мы покажем, что этот недостаток конечных сверток можно обратить к своей выгоде в том случае, когда имеются основания полагать, что предварительно обработанное изображение менее зашумлено, чем имеющийся вариант Наш анализ носит одномерный характер, так что имеет более широкое приложение в обработке сигналов, чем в обработке изображений, хотя он применим к задаче восстановления искаженных проекций двумерных изображений (напомним, что в соответствии с изложенным в § 9 отдельная проекция характеризуется фиксированным значением некоторого параметра, например угла 6, и при этом является функцией одной переменной, например декартовой координаты

Одномерная форма выражения (14.9) такова:

Вспоминая обозначения, введенные в § 6, 8 и 14, напишем фурье-образ этого выражения:

где вещественная переменная и заменена комплексной переменной и», как в формуле (14.4). Следует иметь в виду, что все выражения (т. е. все функции переменной в формуле (19.1) имеют конечные размеры.

Для множеств комплексных нулей спектров изображений конечных размеров удобно использовать обозначения, введенные в § 13 [см. также формулу (14.5)]. Имеющиеся данные могут быть численно преобразованы в множества нулей Теперь снова обратимся к абзацу, содержащему формулу (14.4). Заметим, что, даже если бы имелась достаточно верная так что можно было вычислить мы не могли бы представить столь же просто, как и в формуле (14.5). Наличие функции в формуле (19.2) означает, что

Но для можно написать выражение

где функции, определенные в § 14.

Предположим теперь, что различия между функциями достаточно малы и, следовательно, элементы 2а множества достаточно близки к элементам которые могут быть выделены путем сравнения рассчитанных множеств Эта процедура выделения может быть адекватно выполнена полностью на ЭВМ в том случае, если представляет собой не очень сильно искаженный вариант Когда же искажения значительны (хотя достаточно малы для того, чтобы вышеупомянутая процедура выделения могла быть успешной, но по крайней мере в большей части возможных случаев), приходится прибегать к визуальному распознаванию (способность человеческого мозга распознавать образы пока еще не превзойдена!). «Угаданные» элементы множества исключается затем из множества и остаются только элементы множества из которых реконструируется функция как указано в § 13. Такой алгоритм называется согласованной деконволюцией. Его преимущество в том, что изображение можно восстановить с той точностью, с которой записано искаженное изображение» даже если имеющаяся оценка ФРТ не очень верна.

Конечно, на практике отдельные визуальные оценки могут быть ошибочными, т. е. некоторые «угаданные» элементы множества на самом деле относятся к множеству В таком случае

реконструированная функция будет менее верной, но несовершенство оказывается чрезмерным лишь тогда, когда число «ложных угадываний» составляет значительную долю числа всех элементов множества

Эта «неопределенность» в распределении нулей между множествами приводит к искажению результатов восстановления по тем же причинам, что и наличие функции в винеровском фильтре (см. § 16). Основная причина искажений — шум в обрабатываемых данных. Чем больше уровень шума, тем больше должна быть величина этим снижается разрешение винеровского фильтра. Точно так же число неправильно «опознанных» нулей возрастает с повышением уровня зашумленности.