§ 26. Задача эмиссионной вычислительной томографии как задача получения радиометрических изображений

Рассмотрим задачу об изображении локализованного распределения пространственно-некогерентных источников излучения, плотность которого равна Поскольку трехмерные изображения могут

быть «набраны» из двумерных в параллельных плоскостях, располагающихся друг над другом, задача сводится к задаче получения двумерных изображений в одной плоскости, скажем плоскости . С учетом обозначения (25.4) мы видим, что наша задача заключается в реконструкции функции по данным измерений излучения. Поскольку величина может принимать любые конечные значения, положение изображения можно определить формулой (25.1).

Если распределение источников является идеальным в том смысле, что «свободно висит» в пространстве и не «погружено» в материальную среду, то интенсивность излучения испускаемого источниками, находящимися в элементе объема ослабляется с удалением на расстояние от этого элемента пропорционально Таким образом,

и наличие коэффициента говорит о том, что в отличие от задачи трансмиссионной ВТ, рассмотренной в § 25, в любое выражение, описывающее измеренные данные, должны входи координаты детектора излучения.

Измерения должны проводиться со всех сторон распределения источников, если мы хотим собрать объем данных, достаточный для удовлетворительной реконструкции изображения. Поэтому удобно взять линейную матрицу детекторов, средняя точка которой описывала бы окружность радиусом при вращении вокруг данного распределения источников. Во многих практических приложениях источники являются сравнительно слабыми, так что не имеет смысла требовать (как это было в случае трансмиссионной ВТ, см. § 25) сужения поля зрения отдельных детекторов. Последние должны иметь достаточно большую чувствительную площадь и быть чувствительными к падающему излучению в достаточно широком диапазоне углов, чтобы обеспечивалось достаточно большое отношение сигнал/шум. Оптические оси всех детекторов должны лежать в одной плоскости (совпадающей с плоскостью сечения, изображение которого требуется получить), и, пожалуй, лучше, чтобы они были параллельны и расположены на равных интервалах друг от друга. Используя обозначения, введенные в § 9 и 25, будем считать, что система координат связана с данным сечением (т.е. она связана с распределением источников), а система координат вращается с матрицей детекторов (последняя параллельна оси Мы полагаем, что оптические оси детекторов параллельны отрицательной полуоси которая всегда совпадает с осью луча центрального детектора. Точки на поверхности матрицы детекторов имеют прямоугольные координаты , причем ось параллельна оси

В каждой точке поверхности матрицы введем полярный угол с полярной осью, параллельной отрицательной полуоси азимутальный угол со значением соответствующим оси . Заметим, что для каждой точки на поверхности массива.

Рассмотрим детектор, оптическая ось которого пересекает поверхность матрицы в точке . Его отклик на излучение, падающее в произвольную точку его чувствительной площади с направления, определяемого углами и вообше говоря, должен быть сложной функцией

и падать до нуля при значениях лежащих вне чувствительной площади. Полная интенсивность излучения, принимаемого детектором, равна

где — объем области, содержащей все распределение источников, а координаты и расстояние входящее в зависимость (26.1), являю функциями величин

Интеграл (26.3) настолько сложен, что пока еще не найден метод реконструкции функции по измеренным значениям без значительных приближений. Однако на практике незачем стремиться очень точно восстановить функцию поскольку измерения типа описанных выше, как правило, характеризуются плохим разрешением (главным образом по техническим причинам).

И с технической, и с аналитической точки зрения целесообразен и логичен следующий подход: принять, что разрешение определяется конечной площадью типичного детектора излучения, но при этом считать, что плошаль достаточно мала и отклик детектора определяется простым пучком, который падает на поверхность матрицы в точке Тогда функциональные зависимости от углов упрощаются и представляются в виде Чтобы изображающая система имела приемлемое на практике разрешение, пучок должен быть очень узким; тогда величину в формуле (26.1) можно будет заменить расстоянием вдоль луча, т.е. для всех точек в плоскости расстояние можно будет представить в следующем приближенном виде:

Отсюда следует, что для произвольной точки в пределах заметной части пучка величина пренебрежимо мала по сравнению с величиной Отсюда следует, что

Используя эти приближения, можно принять, что сечение пучка имеет «эллиптическую» форму и описывается эффективными значениями ширины пучка в направлениях соответственно. Таким образом, получаем, что главный лепесток диаграммы направленности детектора лается просто выражением

Нет оснований применять детекторы, которые были бы несимметричны относительно своих оптических осей. Поэтому функция не изменится при замене 0 на -0 и на так что функциональная зависимость (26.5) упрощается далее следующим образом:

Полная интенсивность излучения, принимаемая детектором, будет с приемлемой точностью пропорциональна выражению

где переменные определяются равенствами (25.5), а бесконечные пределы взяты просто для удобства в анализе [напомним, что изображение должно удовлетворять условию (25.1), а потому переход не приводит к трудностям].

Как и в случае трансмиссионной ВТ, разрешение системы, которая теоретически описывается выражением (26.7), определяется изменениями величины, изображение которой необходимо получить, в направлении Здесь снова необходимо предположить, что

в пределах диаграмм направленности матрицы детекторов. Заметим, что подынтегральное выражение в формуле (26.7) получается совсем иным при замене на в отличие от подынтегрального выражения в формуле (9.4). Поэтому измерения должны проводиться в интервале равном тогда как в обычной ВТ (§ 25) достаточным оказывается интервал, равный

Читатель может заметить, что все изложенное выше относится к классической радиометрии. Итак, радиометрическая задача получения изображений или, что эквивалентно, идеализированная задача эмиссионной ВТ ставится следующим образом: задана функция в интервалах требуется реконструировать функцию считая, что величина определяется выражением (26.7) и условием (26.8).

Подставляя соотношения (25.5) и (26.8) а выражение (26.7) и вводя нопмс переменные интегрирования получаем

Зависимость величины от ее аргумента практически всегда известна либо из теории, либо из измерений на матрице детекторов. Поэтому интегрирование по переменной может быть сразу же проведено непосредственно, так как в формуле (26.9) переменная входит в подынтегральное выражение только как аргумент функции Ф:

где зависимость величины от ее аргумента, конечно, можно рассматривать как заданную.

Вернемся теперь еще раз к обозначениям, введенным в § 6, а также к установленным там результатам. Поставляя выражение (26.10) в формулу (26.9) и выражая функцию через спектр получаем

Применив к выражению (26.11) одномерное преобразование Фурье, придем к следующему Фурье-образу:

Теперь введем прямоугольную систему координат повернутую

на угол q относительно системы координат

Подставляя пыражение (26.13) в выражение (26.12) и интегрируя по получаем

Нели преобразовать функцию к полярным координатам, то мы получим

где

Записывая

и обращаясь к первому из соотношении (9.7), получаем, что коэффициент Фурье (см. § 10) для представления (26.14) преобразуется к виду

Поскольку функция задана, функцию можно сразу же рассчитать [см. первое из выражений (26.12)]. Вычислив коэффициенты

Фурье спектра получим Поэтому в уравнении (26.18) неизвестной является только функция как нетрудно видеть, это уравнение представляет собой интегральное уравнение Фрсдгольма первого рода. Хотя с точки зрения вычислительной реализации его решение гораздо менее удобно, чем, например, обращение интеграла Фурье, тем не менее решение уравнения Фредгольма первого рода можно получить прямым путем, как мы сейчас покажем.

Пусть задана функция на интервале вещественной оси и требуется найти функцию на том же самом интервале, если известно следующее соотношение между этими двумя функциями:

где заданное ядро интегрального уравнения. Выберем два множества так называемых базисных функций (оптимальные формы для этих двух множеств определяются конкретным приложением, этот вопрос можно решить только после детального исследования, что ясно показано в работах, на которые лапы ссылки в вводных замечаниях к данной главе). Далее, определим

И наконец, определим

так что выражение (26.19) сводится к выражению

если для функции принять приближенное выражение

где целое число, настолько большое, что правам часть соотношения (26.24) является приемлемым (каким бы ни был принятый критерий точности) представлением функции . В системе уравнений (26.23) неизвестными будут только значения Поскольку это система линейных неоднородных алгебраических уравнений с да неизвестными, значения можно найти путем применения операции обращения матрицы, записывая систему уравнений (26.23) в кратком виде

где А и В — векторы с компонентами соответственно, а К квадратная матрица с элементами получим, что искомое решение представляется в виде

Найдя достаточное число значений чтобы обеспечивалось нужное разрешение изображения, путем обращения такого же числа интегральных уравнений (26.18) можно реконструировать спектр с помощью первого уравнения (9.7), а затем, применив преобразование Фурье, можно реконструировать функцию Тем самым будет решена задача получения радиометрических изображений.

Как уже упоминалось ранее, данная задача получения радиометрических изображений является «идеализированной», поскольку не учитывается влияние среды, в которой могут быть размещены источники излучения. Среда же обычно ослабляет излучение. Наглядные примеры этого дает медицинская радиология: пациент принимает внутрь или ему вводится путем инъекции раствор, меченный радиоизотопом, для обследования, например, пораженного органа или злокачественной опухоли. Поэтому рассмотренная постановка задачи является неполной. Пусть коэффициент ослабления на единицу длины среды для излучения, испускаемого источниками. Теперь, повторно исследуя соображения, приводящие к соотношениям (26.7) и (26.8), можно получить, что полная интенсивность излучения, принимаемого вышеупомянутым детектором, пропорциональна

где величины и те же самые, что и определенные

соотношениями (25.5), но переменная заменена на а переменная на

Реальная задача эмиссионной ВТ, или задача однофотонной эмиссионной ВТ (ОЭВТ), как ее принято называть в настоящее время в медицинских исследованиях, ставится следующим образом: задана функция при требуется реконструировать функцию считая, что определяется формулой (26.27).

В настоящее время нет прямого метода решения задачи ОЭВТ. Итерационный метод ее решения будет изложен в § 32. Существует один очень приближенный подход к решению этой задачи, принятый на практике. Он пригоден, если можно: а) найти оценку коэффициента ослабления, усредненного по рассматриваемому сечению, и б) физически измерить (например, кронциркулем) фактический периметр исследуемого сечения. Зная периметр, нетрудно получить ширину сечения вдоль любого луча, идущего параллельно оси на расстоянии от него. Одновременно можно определить -координаты точек, в которых любой такой луч входит и выходит из данного сечения.

Заметим, во-первых, что

и, во-вторых, чту экспоненциальный множитель в выражении (26.27) можно переписать следующим образом:

Теперь для удобства введем обозначения

где правая часть определена выражением (26.27), и

Если матрица детекторов расположена таким образом, что ее передняя поверхность лежит в плоскости, определенной уравнением конечно, обращена к данному сечению, то полная интенсивность, принимаемая детектором, оптическая ось которого находится на расстоянии от оси пропорциональна величине

Используя вышеупомянутую оценку для усредненного коэффициента ослабления излучения, получаем следующее приближенное равенство:

Предположим, наконец, что среднее интенсивностей, измеренных с противоположных направлений, можно с достаточной точностью приближенно записать в виде

Из формул (26.7) и (26.27)-(26.33) явствует, что Правая часть равенства где

так что со средним величин можно оперировать фактически так же, как ранее с величиной при реконструкции функции Приближения, приводящие к соотношению (26.34), являются очень грубыми, но тем не менее на практике приводят к приемлемым результатам. Поэтому можно назвать величину

ОЭВТ-проекцией пол углом