5. Реконструкция изображений по проекциям

Большинство методов, обсуждаемых в данной главе, были первоначально предложены в связи с развитием: новой области исследований — вычислительной томографии (ВТ) [161]. ВТ, представляющая собой результат объединения последних достижений в области техники, математической физики и вычислительной математики, оказала почти столь же большое влияние на медицинскую диагностику, как открытие рентгеновских лучей в 1895 г. В то же время распространяется понимание того, что соответствующие теоретические подходы и алгоритмы (они рассматриваются ниже в § 25—32) могут применяться во многих областях физики [80, 172]. Хотя основы аппарата математической физики, используемого в ВТ, восходят к временам первой мировой войны [229], развитие современной теории ВТ обычно относят к началу 60-х годов [103]. При этом необходимо также указать на ранние исследования в области электронной микроскопии (соответствующая хронология работ дана в обзорах [31,213]), радиоастрономии (см. статьи, которые цитируются в первой части книги [47]) и на результаты, полученные группой специалистов в Киеве в середине 50-х годов [60, 265].

Предмет исследований данной главы изложен в четырех книгах [23—25, 41], и ему посвящен специальный выпуск журнала [291],).

В § 25 обсуждаются идеализированная задача ВТ [181] и ее радиоастрономический аналог [216]. Эта задача восходит к преобразованию Радона [229], которое в настоящее время редко применяется в ВТ ввиду необычайной эффективности современных методов, использующих преобразование Фурье. В § 26—33 рассматриваются различные отклонения от «идеальности» постановки задачи ВТ, далее в настоящих вводных замечаниях даны соответствующие ссылки. Здесь же особо укажем на две работы [188; 47, ч. 1], непосредственно относящиеся к данному вопросу.

Проблемы, связанные с формированием изображений распределений источников излучения, находящихся внутри исследуемых

объектов, изучаются в § 26 [173, 281]. По-видимому, пока еще не уделялось достаточного внимания специально анализу связи между ВТ и радиометрией [80], хотя этот вопрос неявно исследуется при теоретическом рассмотрении радиационного переноса [13].

Процесс формирования изображений рассеивателей внутри объектов обсуждается в § 27 на примере медицинских систем на основе комптоновского рассеяния [91, 280] и обычных локационных устройств (гидро- и радиолокатора [80]).

Дальнейшие аспекты проблем локации рассмотрены в § 28, где излагается также теория реконструкции изображений по проекциям для случая позитронно-эмиссионной томографии [263, 267].

Число проекций, с которым приходится работать в любом практическом приложении, неизбежно является конечным. Проистекающие отсюда следствия анализируются в § 29 [182, 184, 253]. Здесь не рассматривается «задача для случая ограниченного угла», в которой система проекций задается на ограниченном участке полного угла 180°, поскольку она имеет решения лишь в очень специальных случаях, что было недавно ясно установлено в работе [109].

Может оказаться неудобным или невозможным проводить облучение по всему срезу исследуемого объекта, и тогда измеренные проекции являются неполными в том смысле, что в них имеются пробелы («пустоты»). Способы компенсации такой неполноты описаны в § 30 [183].

В § 31 рассматриваются случаи, в которых упрошенные предположения, лежащие в основе большинства практических реализаций ВТ. существенно неадекватны. Лишь недавно задачи, поставленные в этом параграфе, были исследованы систематически [80, 136, 143. 209].

Практически невозможна разработка прямых алгоритмов реконструкции изображений по проекциям со строгим учетом большого числа параметров «нендеальности», которые очень усложняют исследование практических систем ВТ. Но во многих приложениях ВТ могут быть получены разительные результаты без учета указанных параметров. Как объясняется в § 32, чтобы включить их в рассмотрение, можно использовать итерационные методы [80].

Реконструкция изображений по проекциям является одним из самых значительных достижений прикладной теории преобразования Фурье. В то же время необходимо отметить то парадоксальное обстоятельство, что при прямом обращении к этой теории в обычной практике ВТ не получаются изображения самого высокого качества. Дело в том, что реконструкция изображений по проекциям на основе прямого применения преобразования Фурье приводит к получению

изображений, зашумленных артефактами в виде «спеклов» (это в какой-то мере связывает данную главу со следующей). Подробнее этот вопрос рассматривается в § 33, где объясняется, почему практически реконструкция изображений ВТ осуществляется методом так называемой модифицированной, или фильтрованной, или сверточной, обратной проекции [182, 184], который, кстати, был предложен инженерами-электриками, серьёзно увлекшимися астрономией (90]. Как отмечается в § 25, радиоастрономическая (интерферомстрическая) задача реконструкции изображений по проекциям тесно связана с ее аналогом в ВТ. Однако эта задача редко решается методом модифицированной обратной проекции по причинам, рассматриваемым в конце § 33 (см. первую часть книги [47], а также некоторые статьи в [39]).

Пример 5 иллюстрирует различные аспекты трансмиссионной ВТ, которая является основой упомянутых выше впечатляющих достижений в рентгеновской диагностике. Этот пример хорошо показывает эффективность применения ВТ в тех случаях, когда простая формула (9.4), служащая определением проекции, точно описывает известные данные. Изображения, представленные в этом примере, относятся к материалу, излагаемому в § 25, 29—31 и 33.