§ 18. Прямая деконволюция

Существует большое число методов деконволюции, при которых обработка происходит непосредственно в плоскости изображения. К ним относятся и субтрактивные методы, рассмотренные в § 17. В данном параграфе будет рассмотрены другие прямые методы, а также будет проведено сравнение с подходами, основанными на инверсной фильтрации (§ 16). Мы здесь будем избегать аналитических выкладок и соответствующих выводов по причинам, изложенным в вводных замечаниях к данной главе, и сконцентрируем наше внимание на обзоре основных концептуальных и практических аспектов обсуждаемых методов.

Начнем с рекурсивных фильтров, которые в соответствии с определением, данным в § 14, лают элементы выходного изображения как взвешенные суммы заданных элементов и ранее рассчитанных элементов выходною изображения. Такие фильтры широко применяются в обработке одномерных сигналов, где дискретизация производится по времени, а не по пространству. Эти фильтры легко реализуются. Кроме того, благодаря рекурсивноети можно при помощи фильтра со сравнительно узкой импульсной реакцией достичь сравнительно большой эффективной протяженности.

Был предложен ряд способов обобщения рекурсивных цифровых фильтров на двумерный случай, и делались также попытки применить эти фильтры для восстановления изображений. Применимость рекурсивных цифровых фильтров ограничена по ряду причин. Во-первых, поскольку нет двумерной теоремы о факторизации (в обшем случае невозможно представить двумерный фильтр в виде последовательности одномерных рекурсивных фильтров; это тесно связано с вопросом о единственности решения фазовой задачи частотной плоскости, см. § 22), многие результаты, справедливые для одномерных фильтров, неверны в двумерном случае. В силу этого затрудняется аппроксимация нужной частотной характеристики устойчивым двумерным рекурсивным фильтром. Во-вторых, для эффективной реализации двумерный рекурсивный фильтр общего вида необходимо представить в виде конечной суммы двумерных разделимых рекурсивных фильтров. В-третьих, при решении практической задачи деконволюции трудно выбрать граничные значения рекурсий. Хотя последние можно получить путем простого расширения границ (см. § 15), влияние ошибок в выбранных граничных значениях может сказаться на всем изображении, в особенности ввиду того, что число точек растра часто берется небольшим (например. элементов изображения). По всем этим причинам рекурсивные фильтры редко используются для восстановления изображений. Эти фильтры наиболее подходят для одномерного случая при коррекции расширенной каузальной ФРТ; в этом случае рекурсивный фильтр может быть значительно более коротким, чем соответствующий нерекурсивный фильтр. Читатель, заинтересовавшийся деталями построения рекурсивных фильтров, может обратиться к вводным замечаниям в данной главе.

Рассмотрим теперь нерекурсивное восстановление изображений с использованием фильтра, описываемого массивом данных конечного размера (см. § 14) в плоскости изображения. Заметим, что фильтры,

введенные в § 16, являются нерекурсивными, но не конечными в рассматриваемом здесь смысле, поскольку они являются периодическими (или циклическими).

Прямые перекурен иные фильтры широко применяются для восстановления изображений. Выходные значения таких фильтров зависят только от заданных элементов изображения, так что обратной связи с ранее рассчитанными выходными значениями нет (в отличие от случая рекурсивных фильтров). Отметим одно следствие этого. Граница между кадром в пределах которого может быть проведено успешное восстановление без выполнения предварительной обработки, и кадром который содержит фактически записанное изображение, является по крайней мере столь же узкой, как и при любом другом методе деконволюции. Конечно, ширину рассматриваемой границы можно и далее существенно уменьшить соответствующей предварительной обработкой (см. § 15). Нерекурсивные фильтры имеют и другие преимущества, связанные с вычислительной устойчивостью и простотой реализации. Их также легко исследовать на зависимость от шума.

Нерекурсивные филыры могут быть реализованы либо как свертка в плоскости изображения, либо как умножение в частотной плоскости. В настоящее время алгоритм БПФ дает возможность рассчитывать свертки с необычайной эффективностью на основе операции умножения в частотной плоскости (до и после операции умножения выполняется преобразование Фурье). Высокая эффективность алгоритма БПФ имеет место почти всегда, если оба свертываемых изображения состоят из примерно одинакового числа элементов. Если массив данных, представляющих нерекурсивный фильтр, достаточно мал. то может оказаться более эффективным применение этого фильтра непосредственно в плоскости изображения (различные вопросы, относящиеся к этому рассмотрению, детально обсуждаются в § 46). Отметим, что в случае изображения размером 512 х 512 элементов эффективность начинает уменьшаться, когда размер двумерного массива, представляющего фильтр, больше шести . В то же время не следует забывать, что частотной плоскости легче бороться с шумом. Например, с помошью величины введенной в формуле (16.5), очень удобно учесть статистику шумов. Однако при прямом применении нерекурсивного фильтра (т. е. в плоскости изображения) выявляется необходимость итерационно изменять «регулируемый параметр шума» до тех пор, пока не будет оптимизировано восстановленное изображение при его визуальном наблюдении (см. литературу, указанную в вводных замечаниях к данной главе). Непосредственно по статистике шума определить этот параметр не представляется возможным.

Прямые нерекурсивные фильтры можно реализовать либо в чисто цифровой форме, либо чисто оптически (с использованием некогерентного света для наложения изображений смешенных транспарантов), либо путем электромеханического сканирования транспаранта с искаженным изображением диафрагмой соответствующей формы с записью фильтрованного изображения непосредственно на пленку.

В технике обработки сигналов существует ряд широко применяемых методов построения одномерных фильтров с конечными импульсными характеристиками. Но эти методы обычно направлены на получение некоторой желательной частотной характеристики (например, полосового фильтра). При восстановлении же изображений требуется получить которая была бы в известном смысле как можно ближе к дельта-функции. Отсюда следует, что более предпочтительно оптимизировать прямые рекурсивные фильтры в плоскости изображения, а не в частотной плоскости.

Рассмотрим задачу построения прямых нерекурсивных фильтров в одномерном случае. Мы не будем входить во все детали, но сконцентрируем внимание на наиболее важных вопросах построения фильтров. Отметим, что анализ одномерного случая может быть, как показывается ниже, непосредственно распространен на двумерный случай.

Нам нужно построить такой фильтр который после свертки с дал бы результирующую в некотором смысле оптимальную, и не привел бы к чрезмерному повышению уровня шума. Некоторые авторы принимают, что непрерывная функция, и синтезируют оптимальную непрерывную функцию Наш подход гораздо проще: мы будем работать с массивами данных для дискретизованных функция т. е. с величинами которые следует рассматривать как векторы. Их составляющие обозначим через с индексом пробегающим значения от до с индексом , изменяющимся от до , и с индексом изменяющимся от до так что

Предполагается, что отсчеты располагаются равномерно, т. е. где переменная заменяет или интервал между соседними отсчетами (величину А будем называть также интервалом между элементами фильтра).

Предложены разные критерии для получения вектора Наиболее эффективный из них — оптимизация функции В идеале функция должна быть близка к дельта-функции Кронекера. что, очевидно, невозможно, если число элементов И конечно. Один из

распространенных подходов основан на минимизации второго момента функции величины

при некотором ограничении. Соответствующие ограничения могут иметь пил

или

При использовании соответствующих матричных методов последнее ограничение легче реализовать, чем первое. Отметим, что множитель в выражении для второго момента обеспечивает устойчивость вектора Дело в том, что при больших величина становится пропорциональной Тем самым предотвращаются осцилляции с ростом индекса значений следовательно, при

Идея минимизации второго момента в том. чтобы гарантировать убывание с увеличением Однако ока залось, что такая процедура не всегда приводит к нужному результату, поскольку часто излишне подчеркивает отдельные значения которые весьма малы и для которых значения не очень велики. Мы предпочитаем максимизировать величину при ограничении (18.2), которое в этом случае дает более устойчивые результаты, чем условие (18.3). Далее можно методом лагранжевских множителей получить непосредственно вектор Поскольку при этом обращается матрица необходимо следить за точностью проводимых численных расчетов. Важная особенность нашего подхода состоит в том, что величина стремится к 1 при а это значит, конечно, что вектор действительно стремится к дельта-функции Кронекера при Нели число достаточно мало, так что наш метол оказывается удобным, он дает такие же результаты, как и метод мультипликативной деконволюции, изложенный в § 16.

Отметим, что максимизация величины эквивалентна минимизации выражения

в силу нормировки, отвечающей соотношению (18.2). Это еще одна положительная сторона нашего подхода.

Обычно лучше всего максимизировать величину если четная функция. Если же это условие не выполняется, то может

оказаться более предпочтительным максимизировать некоторую другую величину Можно также увеличить число поскольку оказывается, что массив фильтра из элементов, максимизирующий величину должен давать по крайней мере столь же хорошие результаты, как и фильтр из элементов, максимизирующий величину

Отношение характеризует восстанавливающую способность фильтра Однако свертка с фильтром обычно усиливает шум, присутствующий в обрабатываемых данных. Поэтому улучшение, характеризуемое (большим) отношением компенсируется усилением шума, которое дает фильтр. Следует также учитывать, что фильтрация изменяет статистику шума. Некоррелированный шум становится коррелированным по областям протяженностью Влияние шума можно учесть при подборе фильтра установив верхний предел для отношения Тогда мы получим наилучший фильтр при заданном значении согласованный с определенным уровнем зашумленности.

По своему опыту мы может сказать, что наш критерий значительно лучше, нежели критерии минимума второго момента. Быстрота, с которой величина стремится к единице с возрастанием числа сильно зависит от вида ФРТ. В случае гауссовского искажения число может быть меньше тогда как в случае равномерного линейного смаза число часто значительно больше Усиление шума быстро возрастает с величиной но может эффективно регулироваться способом, указанным в предыдущем абзаце. Однако подчеркнем, что дискретные прямые фильтры наиболее эффективны в случае ФРТ с относительно малой протяженностью.

На практике часто требуется, чтобы постоянная функция оставалась постоянной после свертки с функцией Для этого нужно, чтобы вектор был нормирован в соответствии с соотношением (18.3), а не (18.2), как требуется нашим критерием. В результате обычно нарушается устойчивость численною расчета фильтра Но иногда удается обойти эту трудность путем замены величины в выражении (18.1) величиной где С — соответствующая константа. Правда, при этом величина уже не будет обязательно монотонно стремиться к единице с возрастанием числа

Все сказанное выше можно прямо перенести на случай двумерного фильтра, поскольку двумерную свертку всегда можно представить в виде одномерной. При этом, конечно, сильно возрастает размер матрицы, поскольку для подбора оптимальною массива размером нужно обратить матрицу

В общем случае восстановление изображений метолом расширения границ с перекрыванием (см. § 15) и последующей винеровской

фильтрации (см. § 16) дает лучшие результаты, чем нерекурсивный фильтр, вычисленный с применением нашего критерия. Это связано с тем, что ФРТ обратною фильтра для мультипликативной свертки имеет фактически бесконечную протяженность в силу периодичности (или цикличности) Но если зашумленность изображения невелика, то различие между результатами, полученными двумя этими методами, может быть пренебрежимо малым. Хотя дискретные нерекурсивные фильтры эффективны и легко реализуются (при достаточно больших они менее удобны, чем винеровские фильтры, в отношении контроля за шумом.

Существует один прямой метод решения идеализированной задачи конечной деконволюции в случае равномерного линейного смаза. Хотя данный метод имеет столь ограниченное приложение, он позволяет лучше понять простую инверсную фильтрацию (см. § 16). Пусть — протяженность ФРТ. как в формуле (15.32). Тогда, если величина протяженность кадра (в -направлении), выбрана так, чтобы отношение не было целым числом, задачу можно сразу же решить методом винеровской фильтрации (см. § 16). Это связано с тем, что ни один из нулей функции не может лежать в точках растра [см. текст после формулы (14.8)]. Но если отношение целое число У, то нули функции будут лежать на прямых линиях в частотной плоскости, определенных следующим образом:

Каждая точка растра в -направлении является нулем функции Во многих книгах и статьях утверждается, что при методе винеровской фильтрации неизбежно теряется информация, если функция обращается в нуль в какой-либо точке растра. Но на самом деле это не так, по крайней мере в идеализированной задаче конечной деконволюции. Восстановление изображения можно проводить на кадре рассматривая его как периодическую область и получая в результате оценку истинною изображения. Вообще говоря, имеет значения на кадре тогда как мы знаем, что изображение ограничено кадром Нули определенные соотношением (18.4), являются причиной того, что функция выходит за пределы кадра поскольку каждый отсчет (в -направлении) функции отсутствует. Составляющая погрешности опенки имеет период, равный в -направлении, и повторяется У раз в пределах области . Фактически единственная часть функции отличная от нуля вне Это означает, что функцию в принципе можно однозначно определить путем проверки значений при условии, что величина и меньше суммы ширин с левой и правой стороны

границы (см. § 15) между областями и Таким образом, изображение получается путем вычитания с из на кадре Поэтому информация в нулях функции не теряется. Фактически при линейном смазс произвольного вида может оказаться достаточным знания оценки в пределах границы между областями и восстановить те отсчеты функции которые совпадают с пулями функции

В заключение данного параграфа мы сравним прямые матричные методы с методом мультипликативной деконволюции. Под прямым матричным методом мы понимаем вычисление истинного изображения матричными методами на основе соотношения (14.9) как матричного уравнения.

Одно из преимуществ матричных методов (как и субтрактивных методов, рассматривавшихся в § 17) состоит в том, что они позволяют решать практическую задачу деконволюции в случае пространственно-зависимой ФРТ. Если одномерное изображение состоит из отсчетов, то для такого решения требуется обращение матрицы В двумерном случае, который интересует нас первую очередь, нашу задачу можно представить в пипе одномерной матричной задачи деконволюции. Каждое изображение размерностью представляется как вектор с составляющими, так то обращать нужно матрицу Даже при не очень больших значениях равных, скажем, 256. получаются очень большие матрицы, так что их обращение оказывается сложным делом в вычислительном отношении. Такая матрица часто близка к сингулярной, и поэтому результат обычного ее обращения очень сильно зависит от погрешностей, с которыми известны ее элемен ты. Трудности, связанные с сингулярностью. можно уменьшить, если путем разложения по сингулярным значениям выполнить псевлообрашенис, которое должно быть значительно более устойчивым. Правда, такой подход реален только в случае изображений малых размеров, а потому ребует «разбиения на фрагменты» (см. § 15).

После того как задача деконволюции поставлена в матричной форме, она решается методами наименьших квадратов и множителей Лагранжа с минимизацией (или максимизацией) выбранной характерн стики изображения, на которую налагается одно или несколько ограничений. Такой подход позволяет осуществить прямые матричные аналоги методов мультипликативной деконволюции. Например, можно минимизировать средний квадрат ошибки восстановления, сели имеется достаточная информация о статистике изображения и шума (см. § 16), или максимизировать энтропию, определенную выражением (15.37) (или соответствующим образом определенную «гладкость»

изображения). Вместо этого можно применить метол максимального правдоподобия, который лает восстановленное изображение, согласованное как с заданным искаженным изображением, так и с имеющейся информацией о статистике исходного и искаженного изображений. Путем введения ограничения, налагаемою на допустимый результирующий уровень шума, можно получить регулируемый параметр, который итерационным образом корректируется на каждом этапе восстановления так, чтобы получались как можно более удовлетворительные результаты.

Методы максимальной энтропии и максимального правдоподобия обладают тем преимуществом, что дают восстановленное изображение с неотрицательными значениями. Подчеркнем, что прямые матричные методы этого вида обычно являются итерационными, а потому требуют много машинною времени. Но если ФРТ пространственно-инвариантна, то любой такой метод практически осуществим лаже в случае весьма больших изображений. Это связано с тем, что благодаря использованию алгоритма БПФ можно избежать обращения больших матриц. Результаты, даваемые матричными методами, сравнимы с тем, что дает метод расширения границ с продолжением (см. § 15), если после него применяется винеровская фильтрация (см. § 16). Однако в целом мы предпочитаем методы мультипликативной деконволюции, поскольку они легко реализуются и просты в вычислительном отношении.