4. Восстановление фазы

Пожалуй, основная особенность нашего «века техники» — огромное количество измерительной аппаратуры, диагностических устройств и систем приема и передачи данных, которые в настоящее время проникли почти во все области человеческой деятельности. Большую часть данных, собираемых с помощью этих систем, можно рассматривать как характеризующиеся интенсивностями и фазами. Относительная точность, с которой могут быть измерены интенсивность и фаза, зависит от диапазона частот (или, что эквивалентно, диапазона длин волн), охватываемого сигналами, которые несут информацию.

В случае частот, не превышающих нескольких мегагерц, фазу нередко оказывается возможным измерять с большей точностью, чем интенсивность. На более же высоких частотах точное определение фазы становится все более сложным делом. Но фазу можно измерять на частотах, достигающих нескольких десятков гигагерц, хотя такие измерения и весьма сложны [266]. В оптическом же диапазоне (в инфракрасной и видимой областях спектра) фазу уже нельзя непосредственно зарегистрировать; ее приходится определять по интерферограммам, как в голографии [12, 46] и ее приложениях к измерениям формы и смещения поверхности [17, 114]. В ультрафиолетовом и более высоких диапазонах частот значения фазы могут быть «восстановлены» лишь путем требуюших много времени численных расчетов, поскольку практически невозможно наблюдать те интерференционные картины, по которым быстро определяется фаза.

В данной главе излагаются необходимая теория и апробированные на практике алгоритмы восстановления фаз спектров по записям их интенсивностей. Как правило, мы рассматриваем спектральную интенсивность, непрерывную в некоторой (имеюшей выпуклую границу) области частотной плоскости, где она заметно отлична от нуля (при этом, конечно, учитывается, что на практике часто имеются только дискретные отсчеты такой интенсивности фурье-спектра). В измерениях существенны два весьма различающихся класса фазовых задач. Первый класс относится к периодическим изображениям, таким, как

используемые в кристаллографии (особенно в рентгеноструктурном анализе, а также в электронной микроскопии и в нейтронно-дифракционных исследованиях). В кристаллографии было затрачено много усилий на решение задачи восстановления фазы, но разработанные для этого методы [6, 36, 45, 50] мало связаны с методами, описываемыми в данной главе, поскольку кристаллографические спектры существуют только в дискретных точках частотной плоскости. Во втором классе фазовых задач рассматриваются изображения конечных размеров, такие, как изображения, исследуемые в астрономии, радиотехнике, часто в микроскопии и (преимущественно) в теории и практике обработки изображений.

В данной главе основное внимание уделяется второму классу фазовых задач. Соответствующие методы были разработаны совсем недавно, так что еще не получили широкого распространения в технике. Но эти методы, по-видимому, могут быть полезны во многих видах измерений, так как позволяют делать определенные заключения при значительно меньших ограничениях, чем считалось необходимым всего лишь несколько лет тому назад. Если широко распространится понимание того, что двумерные изображения с вещественными неотрицательными значениями однозначно восстанавливаются по амплитудным значениям их фурье-образов, то можно ожидать непрерывного потока важных приложений.

Улучшенные методы восстановления фазы, по-видимому, могут дать необычный эффект в интерферометрической оптической астрономии, где всюбше нельзя рассчитывать на получение надежных данных о фазе. В связи с этим для получения качественных изображении по указанной методике потребуется разработать гибкие вычислительные методы определения фаз по достаточно близко расположенным отсчетам измеренных интенсивностей. Кроме того, можно ожидать, что новые методы восстановления фазы позволят существенно улучшать качество изображений, восстановленных по данным, которые собраны с применением метода спекл-интерферометрии и его различных вариантов Это в настоящее время самый эффективный метод формирования изображений высокого разрешения в оптической астрономии.

В § 20 ставится фазовая задача в частотной плоскости, а также приводятся некоторые другие необходимые предварительные сведения [71» 74. 75, 119].

В § 21 рассматривается фурье-голография как прямой путь решения фазовой задачи [68, 69, 122, 124]. Некоторые методы восстановления фазы, разработанные в электронной микроскопии [22, 31, 213] и рентгеновской кристаллографии [6, 36], могут быть с пользой интерпретированы в рамках голографического подхода.

В § 22 констатируется замечательное различие между одномерной и многомерной фазовыми задачами, заключающееся в том, что решения одномерной фазовой задачи почти никогда не являются единственными, тогда как решения многомерной задачи почти всегда единственны [78, 93, 120, 153, 262]. В последние десять лет в ряде работ говорилось, что двумерной фазовой задаче просто «меньше неоднозначностей», чем в одномерной. Такие выводы делали главным образом приверженцы метода «максимальной энтропии» (см. § 18) [47, 51, 94, 145, 219], хотя можно указать и работу [215], где применялся обобщенный метол одномерной фурье-обработки. В данной главе не затрагиваются ни эти, ни какие-либо другие аналогичные им методы, поскольку, как нам представляется, их нельзя считать столь эффективными и столь широко применимыми, как методы, рассматриваемые нами.

В § 23 приводятся алгоритмы, хорошо апробированные при восстановлении фазы в двумерном случае. Главным образом рассматриваются варианты алгоритма Герхберга, предложенные Файнапом [119—121, 139]. Но прямое применение таких алгоритмов может оказаться неэффективным, особенно в случае сильно зашумленных данных измерения [79]. Они требуют соответствующих модификаций, после которых возможно успешное восстановление фазы в самых различных ситуациях, представляющих практический интерес [77, 79, 118, 122, 123].

Существует много классов задач, которые либо могут быть сведены к чисто фазовым задачам, либо могут рассматриваться как «ограниченные фазовые задачи» в том смысле, что имеется специального рода априорная информация. Ряд таких задач, близких к фазовой, рассматривается в § 24 [43, 70, 138, 218, 246]. В их числе важная задача, которая, правда, лишь упоминается в § 24, «восстановления сигнала по значениям амплитуды фурье-образа» [285] (пол значением амплитуды фурье-образа понимается «модуль плюс знак фазы»). Эта задача не рассматривается в § 24 по той причине, что она во многом аналогична обработке Нокса — Томпсона, а последняя относится к методам, излагаемым в § 37.

Пример 4 имеет отношение в основном к § 23, но он иллюстрирует также различные аспекты изложенного в § и 22. Все представляемые в нем изображения носят характер небесных объектов: это группы «звезд», либо изолированные, либо наложенные на «туманности». Выбор таких изображений мотивирован тем, что в ближайшем будущем задача восстановления фазы, по всей видимости, станет наиболее актуальной в оптической астрономии. Мы составили пример так, чтобы убелить читателя в том, что задача восстановления фазы вполне реальна.