§ 36. Основной метод обработки спекл-изображений — интерферометрия интенсивностей

Прежде всего введем обозначения для эффективного радиуса турбулентного диска и для дифракционного предела устройства, формирующего изображение. Таким образом, реакция тгого устройства на пространственные частоты, по модулю превышающие пренебрежимо мала.

Турбулентный диск (см. § 34) идентичен среднему второго набора спекл-изображений в задаче видения (поставленной в § 34). Следовательно, турбулентный диск описывается выражением

Спектр такою турбулентного диска, конечно, пренебрежимо мал при То же самое можно сказать о среднем спектров первого набора спекл-изображений, фигурирующего указанной задаче видения. Поэтому

отмечено, что каждое спекл-изображение несет информацию с разрешением, ограниченным дифракционным пределом. Ввиду этого Лабейри указал на то, что, несмотря на равенство (36.2),

Величина заметно отлична от нуля при Таким образом, на основании формулы (34.11) можно заключить, что всличи на

заметно отлична от нуля при Слагаемое

называется составным спектральным шумом.

Чтобы восстановить по необходимо знать оценку величины Далее, Лабейри, основываясь на статистическом подобии ФРТ, связанных с обоими наборами спекл-изображений и задаче вндення, указал, что

где соответствующая ФРТ, введенной в формуле (34.9). Из формулы (34.9) явствует, что среднее интенсивностей

спектров июбражений выражается следующим образом:

где величина лается выражением (36.5). если и величина заменена величиной

Из формул (36.6) и (36.7) следует, что среднее спектральных интенсивностей второго набора спекл-изображений в задаче видения может составить основу винеровского фильтра (см. § 16), который мы назовем фильтром Лабейри — Винера и обозначим через для реконструкции Учитывая, что левая часть равенства (36.7) — вещественная величина, получаем на основе формулы (16.5)

где константа фильтра, которая выбирается в соответствии с рассчитанными уровнями составных спектральных шумов, входящих в формулы (36.4) и (36.7). Интенсивность спектра восстановимого истинного изображения (см. § 16) дается тогда выражением

Обработка, описанная формулами (36.4) и (36.7) — (36.9), называется спекл-интерферометрией Лабейри.

Наблюдательный читатель, без сомнения, заметил, что почти такой же результат можно получить, если усреднять автокорреляции спекл-изображений, а не интенсивности их спектров, поскольку

что следует из теоремы об автокорреляции [формула (7.10)]. Усреднение же обычно проводится в частотной плоскости по той причине, что это, вообще говоря, гораздо более эффективно в вычислительном отношении в силу свойств алгоритма БПФ (см. § 12). Отметим, однако, что может оказаться более эффективным усреднение автокорреляций, если наблюдаемый объект столь слабый, что типичное спекл-изображение отвечает лишь сравнительно малому числу падающих фотонов. Тогда автокорреляция каждого спекл-изображения содержи! разности радиус-векторов тех точек в плоскости изображения, в которые попали фотоны. Такую автокорреляцию удобно формировать в реальном масштабе времени с помощью современной цифровой техники; см. соответствующую литературу, где исследуются теоретические и практические следствия такого подхода.

Нелл объект наблюдается при помощи интерферометра в условиях, когда достаточно близкой к реальности является упрощенная интерферометрическая задача видения (§ 34), то нужно сформировать средние

представляющих практический интерес (напомним, однако, об уточнении левых частей формул (36.4) и (36.7) и построить фильтр Лабейри — Винера, определяемый выражением (36.8). Тогда правая часть равенства (36.9) снова будет имеющейся оценкой величины Последнюю можно улучшить в точках определенных для усложненной интерфсрометрнческой задачи видения [см. § 34 и формулу (34.12)], пользуясь соотношением (34.14), которое иногда называют замкнутым выражением (клаузой) для амплитуды [вид (итерационной) обработки, которая должна применяться в этом случае, обсуждается в § 39].

Все методы обработки, исследованные до сих пор в данном параграфе, можно рассматривать как разновидности метода интерферометр и и интенсивностей.

Хотя здесь нет места для детального обсуждения тонкостей интерферометрического метода (они подробно рассмотрены в литературе, указанной в вводных замечаниях к данной главе), мы скажем несколько слов о принципе интерферометрии интенсивностей, поскольку этот термин имеет несколько широко употребительных значений, отчасти противоречащих друг другу. Указанный термин иногда относят только к интерферометрам (типа предложенных Брауном и Твиссом), отдельные элементы которых регистрируют лишь флуктуации огибающей излучения, падающего на них. Поскольку в этом случае корреляцию можно вычислять только для сигналов, которые ранее были зарегистрированы как нскогерентные, отношение сигнал/шум часто оказывается очень низким. Тем не менее такой метод может быть пригоден тогда, когда невозможно сохранить когерентность сигналов, принимаемых сильно разнесенными станциями. Если же их когерентность может быть сохранена, то можно применить метод фазочувствительной интерферометрии (интерферометр Майкельсона), обычно с значительным увеличением отношения сигнал/шум. Хотя такой метод является фазочувствительным, он не позволяет непосредственно получить фазу видности. Дело в том, что надежно вычислить по «грубым» интерфсрометрическим данным фазу видности можно только при условии, что выполнен ряд точных калибровочных измерений (включая точную проверку нулевых линий интерферограмм). Поэтому может оказаться, что при обработке изображений метод интерферометра Майкельсона дает не больше информации, чем метод интерферометра интенсивностей Брауна и Твисса. И данное ограничение метода интерферометра Майкельсона будет тем более существенным, чем меньше длина волны излучения.

Метод спекл-интерферометрии непосредственно дает только величину или, что эквивалентно, Но этого достаточно для реконструкции формы изображения почти во всех случаях,

ющих замечаниях, которые делались на протяжении § 22 и 23). Но для реализации алгоритма, описанного в § 23, требуется большой объем вычислений, а всегда желательно получить результаты как можно проше. В двух случаях форму изображения можно реконструировать непосредственно.

Первый — случай так называемой спекл-голографии. Известны два варианта этого метода. В первом из них истинное изображение должно быть разделено на две части, как в формуле (21.1), и должна быть применена также формула (21.3) [напомним, что здесь одна из двух частей изображения, а не Если часть изображения удовлетворяет условию неразрешимости (21.7), то ее можно рассматривать как опорный участок изображения, так что неизвестную часть изображения можно реконструировать голографическим метолом со смешенным опорным участком изображения (см. § 21). Неразрешимых опорных объектов очень много в приложениях оптической астрономии, поскольку большинство отдельных звезд имеет размеры, меньшие дифракционного предела самых больших телескопов. Можно проверить, согласуются ли имеющиеся данные с предполагаемой формой истинного изображения. При этом полезно использовать выражение (21.2). Заметим, что необходим весьма яркий объект, расположенный в начале координат. Это — автокорреляция опорного участка изображения которая фактически является двумерной дельтафункцией. Кроме того, -протяженность кадра должна в 2 раза превышать соответствующую протяженность кадра или

Это легко проверить, если выполняется условие (21.6), т. е. если речь идет об элементарной голографии (см. § 21). При когда должна применяться итерационная голографическая процедура со смещенным опорным участком изображения, можно исследовать относительные длины лг-протяженностей по мерс выполнения итераций. Второй вариант спекл-голографии — когда изображение имеет форму, описываемую выражением (21.20), в чем можно убедиться, проверив, состоит ли автокорреляция из неразрешимых точек. В этом случае может быть применен голографический метод тройной автокорреляции. Нетрудно выяснить, будут ли все значения различны, проверив, будет ли автокорреляция реконструированного изображения равна автокорреляции, рассчитанной по заданной величине

Второй случай, когда форму изображения можно реконструировать непосредственно, соответствует так называемому методу спекл-интерферометрии большого поля. Истинное изображение должно иметь форму

причем центры всех кадров должны отстоять от начала координат в плоскости изображения более чем на расстояние, равное Кроме того, центры кадров 0 должны отстоять друг от друга не более чем на расстояние, равное Среднее первого набора заданных спекл-изображений (см. задачу видения, поставленную в § 34) принимает вид раздельных турбулентных дисков, один из которых соответствует изображению неразрешимого опорного объекта, а другие — изображению Удобно представить себе «черно-белый» транспарант соответствующий среднему Черно-белый здесь означает, что транспарант полностью прозрачен в пределах всех упомянутых отдельных турбулентных дисков, но непрозрачен всюду вне этих дисков. Заметим, что кадр или один из кадров соответствует центральной области каждой из прозрачных частей транспаранта, поскольку все эти кадры должны иметь те же самые центры, что и соответствующие им турбулентные диски. Указанные выше требования к расстоянию между кадрами гарантируют, что все «перекрестные» члены автокорреляции занимают области плоскости изображения, которые отделены друг от друга и от области, содержащей все члены вида Предположим теперь, что на изображение автокорреляции налагается транспарант причем центры каждой из его прозрачных областей поочередно совмещаются с началом координат в плоскости изображения. При каждом таком наложении транспарант поворачивают вокруг начала координат так, чтобы приблизить детали изображения к окрестностям центров всех прозрачных областей. Если это удается, то мы получим все изображения поскольку каждая прозрачная область (кроме области с центром в начале координат) должна давать одно из изображений . В начале координат расположена, конечно, автокорреляция дельта-функции