§ 6. Фурье-образы

Для двух функций одной переменной соответственно, связанных друг с другом преобразованием Фурье, справедливы следующие соотношения:

Переменные называются в данном контексте сопряженными.

Согласованность двух интегральных преобразований (6.1) формально устанавливается путем подстановки одного из выражений в другое. Отметим, что в многомерных интегралах Фурье и даже в сложных комбинациях рядов и интегралов Фурье почти всегда можно, не задумываясь, менять порядок интегрирований и суммирований,

если только функции адекватно представляют реальные физические процессы. Математики выполнили соответствующие исследования, и мы можем более или менее уверенно идти по проторенному пути. Конечно, существуют ситуации, когда такой «поверхностный» подход приводит к осложнениям, но, обнаружив это, всегда можно вернуться назад и, проследив ход решения, найти причину затруднений. В данной книге порядок интегрирования и суммирования меняется без комментариев.

Из преобразований (6.1) следует, что

Теперь удобно ввести функцию

где функция, определенная равенством

Как нетрудно видеть, мы имеем

и, поскольку и соотношении (6.3),

где принято обозначение

При величина очевидно, является неопределенной; однако это не имеет значения, поскольку, во-первых, — осциллирующая функция и ее соседние полупериоды являются бесконечно узкими и имеют одинаковую форму, но противоположный знак и, во-вторых, величина в анализе фигурирует только под знаком интеграла, а это означает, что вклады соседних полупериодов взаимно уничтожаются всюду, кроме малого участка вблизи значения Таким образом, функция, эквивалентная известной дельта-функции

Дирака, которая иногда называется импульсной функцией. Дельта-функция интересна тем, что она сводит интегралы к значению подынтегральной функции в одной точке. Например, рассмотрим интеграл от произведения функции на функцию которая является непрерывной по 0. На основании соотношений (6.5), (6.6) и сказанного выше этот интеграл при условии, что а — вещественное число, можно преобразовать

Далее, если через обозначить участок (необязательно односвязный) вещественной -оси, то будем иметь

Подставляя формулу (6.3) в определение (6.2) и используя соотношения получаем

Таким способом всегда можно проверить согласованность интегральных представлений, встречающихся при использовании преобразования Фурье, и только в редких случаях может потребоваться особое исследование. Отметим, что соотношения (6.8) и (6.9) обычно выполняются, даже если функция является лишь кусочно-непрерывной функцией. Поэтому на практике можно исходить из того, что соотношения (6.8) и (6.9) всегда верны, и лишь при возникновении фактических затруднений проверять применимость указанных формул.

В качестве дополнительной к плоскости изображения, введенной в § 3. мы введем теперь частотную плоскость, произвольная точка которой задастся радиус-вектором и. Прямоугольные координаты представим в виде и соответственно. Введем также соответствующие цилиндрические полярные координаты . Точку с запятой внутри скобок мы всегда будем ставить перед угловой координатой. Функциональные зависимости от х в плоскости изображения и от в частотной плоскости удобно записывать в

следующих различных вилах:

Когда рассматривается устройство, формирующее изображение, так что функция связана с полем в плоскости зрачка (точный характер этой связи зависит от того, являются ли источники поля пространственно-когерентными или некогерентными, см. § 3 и 8), величины и и «направляющие косинусы», поделенные на среднюю длину волны поля излучения. Следовательно, по аналогии с сигналами и их спектрами, для которых сопряженными независимыми переменными служат «время» и «частота», можно рассматривать координаты и и как пространственные частоты. Можно также говорить об «эффективной полосе пространственных частот», о диапазоне значений в пределах которого функция заметно отлична от нуля.

Если функции, связанные между собой двумерным преобразованием Фурье, то это означает следующее:

где элемент площади в частотной плоскости с центром в точке и.

Подставив выражение (6.13) в (6.12), с учетом формул (6.3), (6.5), (6.8) и (6.11) получим равенство

столь же убедительное, как и равенство (6.10).

Иногда для краткости удобно пользоваться символом для преобразования Фурье, т. е.

Первое из этих равенств — краткая форма записи соотношения (6.12) и первого равенства (6.1), а второе — соотношения (6.13) и второго равенства (6.1). При такой форме записи стирается различие между «прямым» и «обратным» преобразованием, но это не приведет к путанице. Соотношения согласованности (6.10) и (6.14) принимают тогда вид

Если выполняется одномерное преобразование Фурье функции двух переменных то необходимо указывать, по какой переменной производится преобразование. Если это переменная , то символу функции придается нижний индекс — переменная в скобках, а символу индекс, в котором в скобках стоит единица, а за ней (без запятой) сопряженная переменная, фигурирующая в преобразовании, например:

Если в последовательности операций имеются и одномерные, и двумерные преобразования Фурье, то для ясности размерность каждого преобразования указывается в виде 1 или 2 (в скобках) в нижнем индексе.

И одномерный, и двумерный фурье-образ функции будем называть спектром пространственных частот или просто спектром функции

Можно ввести двумерную дельта-функцию обладающую следующими свойствами:

Интуитивно кажется очевидным, что функция должна обладать свойством круговой симметрии. Однако из формул (6.3) и (6.4) мы видим, что

Но это не должно нас смущать, поскольку обе части соотношения (6.19) на практике дают одинаковые результаты:

Наконец, из соотношений (6.11) и (6.13) следует равенство

Это равенство мы будем называть законом сохранения энергии при преобразовании Фурье. Такое название более выразительно, нежели другие, более распространенные названия, поскольку с физической точки зрения вполне естественно рассматривать величины как плотности энергии в плоскости изображения и в частотной плоскости, соответственно. В одномерном случае это равенство имеет вид