§ 20. Фазовая задача в частной плоскости

Во многих практических приложениях приходится проводить измерения в частотной плоскости. В таких случаях истинное изображение должно находиться по его спектру. Но даже тогда, когда фаза может быть определена непосредственно по зарегистрированным данным, обычно оказывается, что модуль спектра можно измерить точнее, чем его фазу. Поэтому необходимы алгоритмы, обеспечивающие как можно более полное извлечение информации о функции из модуля спектра

На основании формулы (6.13) можно написать

где используются обозначения (6.16). Кроме того,

Напомним, что

поскольку в данной книге в отсутствие особых оговорок истинное изображение предполагается имеющим вещественные (и неотрицательные) значения. Поскольку

мы, очевидно, не в состоянии определить положение кадра изображения (см. § 7) или отделить изображение от его зеркальной копии если задан только модуль спектра

С учетом сказанного введем для удобства понятие формы изображения. Вид, или форма, какого-либо предмета не изменяется при его простом перемещении и при наблюдении его в зеркале. Поэтому можно сказать, что функции где — произвольные постоянные радиус-векторы, описывают ту же форму изображения, что и функция

Только в специальных случаях (например, в простом голографическом подходе, см. § 21) фаза спектра может быть восстановлена

по модулю с помощью аналоговых устройств. Чтобы обработать данные, выполнив операции, описываемые в § 21—24, нужно ввести эти данные в ЭВМ. Это означает, что данные предварительно должны быть дискретизованы даже в случае практически непрерывной записывающей среды (такой, как фотопленка или магнитная лента). Выбор интервала дискретизации в частотной плоскости имеет крайне важное значение, так как методы, излагаемые в данной главе, основаны на предположении, что по заданному модулю спектра сразу же можно вычислить автокорреляцию функции

В данной главе предполагается, что автокорреляция функции имееч конечную протяженность (это условие выполняется в большинстве приложений), и у-протяженности автокорреляции обозначаются через 2 и 2 а также предполагается, что функция с неотрицательными значениями [см. формулу (20.3), а также § 3 и ].

Расстояние между заданными отчетами модуля спектра имеет важнейшее значение в фазовой задаче в частотной плоскости. Назовем эти отсчеты первичными отсчетами модуля спектра и предположим, что они лежат на прямоугольном растре (называемом первичным растром) в частотной плоскости. Строки и столбцы растра параллельны и -осям, а интервалы дискретизации вдоль этих осей координат равны 1/2 8, и соответственно. Если не считать специальных случаев, то решение фазовой задачи возможно только при условии, что и как поясняется далее в данном параграфе.

Фазовая задача в частотной плоскости ставится следующим образом: заданы первичные отсчеты модуля спектра требуется восстановить форму изображения

Рассмотрим множество всех изображений, спектры которых имеют один и тот же модуль Типичный элемент этого множества таков:

где произвольная вещественная функция переменной , называемая фазовой функцией. Заметим, что

Центральный вопрос для фазовой задачи можно сформулировать следующим образом: существует ли более чем одно изображение принадлежащее этому множеству? (Изображения считаются различными, только если они имеют разную форму.) Ранее уже было отмечено, что фазовые функции вида

где - произвольный постоянный радиус-вектор, не изменяют формы изображения. Поэтому без потери общности можно считать, что центр кадра каждого изображения совпадает с началом координат в плоскости изображения.

Мы рассматриваем только изображения с неотрицательными значениями. Поэтому в силу теоремы об ограниченности протяженности [формула (8.15)] размеры всех изображений равны половине протяженностей автокорреляции откуда следует, что

Значит, функции могут быть описаны так, как показано в первых двух абзацах § 10. Кроме того, любые изображения представляются в виде

при так что соответствующий спектр записывается следующим образом:

где коэффициенты Фурье функции .

Еще одно следствие неотрицательности значений функции заключается в том, что теорема об автокорреляции [формула (7.10)] сводится к равенству

Из теоремы отсчетов (см. § 10) следует, что автокорреляцию можно сразу вычислить по заданным первичным отсчетам модуля спектра если интервалы дискретизации первичного растра достаточно малы, т. е. если

в согласии с требованием последнего предложения перед формулировкой фазовой задачи. Отметим, что на практике всегда можно сказать, будут ли величины достаточно малы, так как величина должна быть равна нулю вне прямоугольного кадра, определяемого неравенствами Если величина заметно отлична от нуля на границе кадра, определяемого неравенствами то это значит, что либо либо (либо то и другое) слишком малы. Этот вопрос обсуждается далее в § 23.

Интересно сравнить фазовую задачу, сформулированную в данном параграфе, с самыми старыми и самыми известными фазовыми задачами рентгеновской кристаллографии. Задача кристаллографа заключается в том, чтобы по измеренным значениям структурных факторов (так называются в кристаллографии первичные отсчеты) восстановить форму изображения элементарной ячейки, которую (форму) мы для удобства обозначаем здесь через хотя на самом деле кристаллы трехмерны (что, впрочем, несущественно в данном контексте). Однако измерения рентгеновской дифракции проводятся на всем кристалле, представляемом здесь периодическим изображением которое введено в последнем абзаце § 10 (но с числом N, обязательно равным единице), а не на одной элементарной ячейке. Поэтому измеряется величина , а не величина но первая из указанных величин эффективно существует только в точках, разделенных расстояниями и -направлениях, соответственно. Стало быть, мы имеем

что не согласуется с условиями (20.12). Итак, методы, излагаемые в данной главе, прямо не приложимы к определению кристаллографической структуры. Кристаллографам же удается успешно решать их фазовые задачи по той причине, что им заранее известно, как составлены элементарные ячейки из отдельных атомов, дифракционные характеристики которых хорошо изучены. Это условия, весьма специальные с точки зрения подхода, принятого в данной главе, поскольку наш подход не основывается на априорных предположениях о конфигурациях отдельных частей истинного изображения.

В следующих параграфах данной главы рассматривается во-первых, вопрос о восстановлении формы изображения, совместимой с заданными первичными отсчетами модуля спектра , и, во-вторых, вопрос о том, при каких условиях может существовать только одна такая форма изображения.