§ 34. Задача видения

Рассмотрим устройство, формирующее изображение, такое, как оптический астрономический телескоп, с помощью которого ведется наблюдение за объектом через искажающую среду (подобную земной атмосфере). Если время, за которое записывается изображение, короче времени, за которое происходят значительные изменения среды, то мы будем говорить, что изображение записано моментально (подчеркнем, что длительность момента, который подразумевается в данном определении, должна быть не меньше постоянной времени, с

которой регистрируется излучение фокальной плоскости устройства, формирующего изображение). В этом случае изображение можно рассматривать как зашумленную свертку истинного изображения объекта с ФРТ, отвечающей среде в момент записи изображения. Напомним. что разрешение истинного изображения ограничивается дифракционным пределом используемого устройства, формируюшего изображение [см. абзац, содержащий формулу (3.10)]. Если среда вносит сильное искажение (что имеет место во многих важных случаях, представляющих научный и технический интерес), то кажущееся разрешение изображения гораздо ниже дифракционного предела. Различные виды обработки, обсуждаемые в данной главе, предназначены для коррекции таких искажений в отсутствие априорных сведений о форме ФРТ.

ФРТ, отвечающая флуктуирующей среде, изменяется во времени случайным образом. Записывая изображения в последовательные моменты времени, мы можем установить, каким должен быть интервал межлу двумя моментами (в среднем), чтобы отвечающие этим двум моментам, были независимы (в обычном статистическом смысле). Назовем такой средний интервал временем перераспределения среды. Последовательность моментов времени, разделенных интервалами, равными времени перераспределения среды, снабдим номерами Конечно, формы ФРТ в эти моменты времени неизвестны, но мы их снабдим геми же номерами и запишем ФРТ в моменз времени как Поскольку форма записанного изображения изменяется от одного такого момента времени к другому, мы можем представить себе множество записанных изображений, каждое из которых по-своему искажено (и зашумлено).

Чтобы облегчить достоверное восстановление изображения по набору записанных изображений, мы должны каждое из них подвергнуть предварительной обработке (см. . Обозначим через форму изображения, полученную после того, как изображение а прошло предварительную обработку наиболее подходящего вида. Тогда в соответствии с обозначениями, введенными в абзаце, содержащем формулу (14.9), можно написать

где и шум изображения в идеале не зависят (в статистическом смысле) друг от друга и от соответствующих пар для других значений Конечно, на практике такой полной независимости нет. Мы просто хотим сказать, что чем выше степень указанной независимости, тем более эффективны методы обработки, описываемые в следующих параграфах данной главы. Или, иначе говоря.

чем меньше степень независимости между ФРТ и шумами, чем больше должно быть число чтобы можно было восстановить требуемую информацию с заданной точностью. Подчеркнем, что в шум входят все дефекты предварительно обработанных записанных изображений — не только шум записи и все нелинейности процесса записи, но также и неизоиланатическая (т. е. пространственно-неинвариантная) часть искажения, вносимого средой (см. § 4. второй абзац).

В оптической астрономии изображения называются спекл-изображениями или спеклограммами (искаженность зависит от длины волны излучения, так что чем более широкому полю зрения отвечает каждое спекл-нзображение, тем более узкой должна быть ширина полосы регистрируемого излучения, чтобы избежать расплывания «сис-клоь» к краям изображений). Поскольку вола в море представляет собой флуктуирующую среду для распространяющихся в ней акустических волн, изображения, формируемые матрицами ультразвуковых преобразователей, можно рассматривать как «акустические спекл-изображения». Реальные среды вносят искажение, которое не является идеально пространственно-инвариантным (описываемым в простой сверточной модели, см. об изопланатизме в оптике § 3), но этим не ограничивается применимость формулы (34.1) к типичному предварительно обработанному записанному изображению, поскольку в входят все составляющие изображения которые не могу быть описаны пространственно-иивариаитиым искажением.

Методы, обсуждаемые в § 34—39, относятся к случаю искажения, которое является практически пространственно-инвариантным. Поэтому в тех случаях, когда каждая составляющая шума больше слагаемого ни один из методов не будет эффективен; но как раз эти случаи и типичны на практике! Однако во многих ситуациях, представляющих практический интерес, первый член в формуле (34.1). по-видимому, достаточно точно представляет то, что измеряется, чтобы можно было исключительно простыми методами реконструировать приемлемые варианты истинною изображения.

Некоторые среды, вносящие очень сильное искажение, флуктуируют слишком медленно, для того чтобы можно было записать достаточно большие наборы независимо искаженных изображений в пределах одного частотного диапазона за разумный отрезок времени. К таким средам относятся земная кора (сейсмические волны) и биологические ткани (ультразвуковые волны). Однако могут быть в достаточной мере независимыми искажения, вносимые ими на разных частотах, хотя бы они и казались весьма стационарными (т. е. имеющими одни и те же плотности распределения и т. д.).

Когда для исследования внутренней структуры тела или для

поиска отдаленных рассеивателей используется когерентное излучение (например, ультразвуковое в медицине, и радиолокации и т. д.), истинное изображение обычно нельзя рассматривать как имеющее неотрицательные вещественные значения. Если у нас появится необходимость рассматривать изображения с комплексными значениями (см. § 38), то мы будем заменять символ символом в согласии, например, с начальной частью § 28.

Искажение, вносимое средой, может сильно затруднять распознавание наблюдаемого объекта. Как очень удачно говорится в астрономии, возникает «проблема видения»!

Прежде чем переходить к методам получения изображений, излагаемым в остающихся параграфах данной главы, кратко остановимся на том. как формируются спекл-изображения. На любой частоте заданную среду можно характеризовать масштабом таким, что изображения, формируемые устройствами, диаметр зрачка которых меньше практически не искажаются (величина уменьшается с повышением частоты). Рассмотрим теперь «большое» устройство с диаметром зрачка намного превышающим т. е.

где положительное целое число. Зрачок «большого» устройства можно, очевидно, разбить примерно на подэрачков, в пределах каждого из которых искажение будет пренебрежимо малым; однако относительное ослабление и задержка, связанные с распространением, существенно меняются одного подзрачка к другому. Хотя такая картина носит грубоприближенный характер, она позволяет получать приемлемые результаты.

Рассмотрим теперь снова поле излучения, определенное формулой (8.6), которое существует мгновенно в плоскости зрачка упомянутого выше большого устройства. В отсутствие значительных искажений, связанных с распространением излучения, поле излучения, падающего на зрачок, можно описать величиной определенной выражением (8.5). Если, как это всегда бывает на практике, имеется существенное искажение, вносимое средой, и у устройства имеются аберрации, то поле в пределах зрачка можно описать величиной определенной выражением (8.6). Если, как говорилось выше, разбить зрачок на подзрачкн. то член описывающий искажение, в формуле (8.6) можно аппроксимировать следующим образом:

где сумма бесконечна, perfw - «идеально» (perfectly) гладкая функция, которая равна приближенно единице на подзрачке и быстро

падает до пуля вне его, радиус-векторы случайно расположенных точек (среднее расстояние между которыми равно комплексная константа, учитывающая ослабление и сдвш фазы, отвечающие каждому ползрачку. Все величины различны, их максимумы расположены случайным образом, и они могут налагаться друг на друга, но их среднее можно приближенно считать гауссовской функцией с эффективной шириной, равной Если величину 2) (2) умножить на идеальную функцию аподизашш то сумма (34.3) станет конечной:

Поскольку функцию можно взять убывающей к границе зрачка, величины в формуле (34.4) несколько отличаются от соответствующих величин в формуле (34.3), но новые обозначения вводить не имеет смысла, поскольку, во-первых, для этих величин не давалось строгого определения (и в этом нет необходимости) и, во-вторых, здесь представляет интерес общая, а не детальная форма функции зрачка.

Если аберрации рассматриваемого устройства значительны, то идеальную функцию аподизации следует заменить в левой части формулы (34.5) реальной функцией аподизации введенной в § 8. По аналогии с предыдущим рассмотрением искажения, вносимого средой. можно харак теризовать функцию аподизации собственными подзрачками среднего диаметра т. е.

где величины так же определены для новых подзрачков, как и те же самые символы (с нижним индексом а вместо нуля) для прежних подзрачков. В произвольной точке зрачка искажение, вносимое средой, налагается на аберрацию устройства, формирующего изображение. Однако сели одна из этих величин является (практически) случайной переменной, то случайной переменной будет и их комбинация. Поэтому поле в подзрачке будет определяться либо функцией либо функцией в зависимости от того, какая из них отвечаем более сильному искажению (заметим, что чем меньше типичный подзрачок. тем сильнее будет искажение). Если один из больших подзрачков налагается на несколько меньших, то их объединенный совместный эффект можно описать почти тем же числом меныпих подзрачков. Поэтому при доминирует функция а при функция

где

причем тильда означает, что, хотя связанные ею величины могут различаться в мелочах, их важнейшие характеристики одинаковы, Формула (34.6), хотя и носит лишь качественный характер, верно отражает один из наиболее существенных аспектов обработки спекл-изображений. Эта формула выражает хорошо в настоящее время обоснованный (как экспериментально, так и теоретически, см. литературу, ссылки на которую приведены в вводных замечаниях к данной главе) результат, состоящий в том, что статические аберрации прибора можно скомпенсировать до дифракционного предела, наложив на его зрачок дополнительные аберрации. Последние должны флуктуировать, а также быть больше статических аберраций

Если меньшее из двух значений то поле изображения каждого подзрачка (т. е. мгновенное поле в плоскости изображения, отвечающее только данному подзрачку) занимает в плоскости изображения область (часто называемую турбулентным диском) диаметром где у — константа, которая определяется геометрией системы, формирующей изображение, и частотой излучения. Эти поля изображения подзрачков являются практически случайно фазированными. так что их взаимная интерференция дает случайно распределенные светлые и темные области, которые придают характерный «пятнистый» или «зернистый» пил изображению. В среднем имеется светлых областей. Поскольку под зрачки покрывают зрачок прибора, имеющий диаметр эффективный диаметр светлых областей — порядка (он может быть лишь больше, поскольку величина есть дифракционный предел устройства, формирующего изображение, т. е. величина 7 пропорциональна длине волны излучения).

Нели так что спеют-структура определяется в основном искажением, вносимым флуктуациями среды, то детальная форма и положение сисклов все время изменяются. Предположим, что размеры (см. § 7) изображения меньше Тогда усредненные по большому числу времен флуктуации среды спекл-изображсния образуют бесструктурное светлое пятно, которое отвечает пределу разрешения обычного оптического телескопа. Это пятно и называется «турбулентным диском». Чтобы можно было отделить искажения, вносимые средой, необходимо исследовать отдельные спекл-изображения, поскольку на них выявляются детали (хотя и «перемешанные») с разрешением, ограниченным дифракционным пределом. Последнему,

конечно, отвечают детали, значительно меньшие диаметра турбулентного диска, если речь идет о большом телескопе (типичное значение величины равно для излучения с длиной волны тогда как диаметр многих из существующих гигантских оптических астрономических телескопов близок к

В случае спекл-изображений ФРТ заранее не известны. Их нужно определять по самим спекл-изображениям. Эта задача существенно облегчается, если записать второй набор спекл-изображений — изолированного объекта, который не разрешается данным устройством, формирующим изображение (т. е. угловой диаметр которого меньше Величины относящиеся к таким спекл-изображениям, мы будем помечать тильдами сверху. Изображение единичной амплитуды неразрешимого объекта, расположенного в начале координат плоскости изображения (положение этого начала может быть выбрано без потери общности произвольно), можно представить в виде

Тогда из формулы (34.1) явствует, что спекл-изображенис неразрешимого объекта лается выражением

На практике не могут совпадать с величинами но и другие могут быть (особенно в оптической астрономии) статистически подобными, а только это и требуется в случае методов, излагаемых в § 35—39.

Задача видения ставится следующим образом: заданы наборы достаточно больших чисел спекл-изображений, требуется реконструировать форму изображения (в соответствии с определением в § 20) считая, что изображения определены выражениями (34.1) и (34.9), что «достаточно большие» числа допускают усреднения типа описываемых в и что все величины являются элементами одного и того же статистического ансамбля, а все величины являются независимыми.

Ни в одной из областей прикладной науки, в которых сбор данных осуществляется путем визуализации исследуемого объекта (в астрономии, неразрушающих испытаниях материалов, медицинской диагностике и т. д.), нет никаких признаков удовлетворенности разрешающей способностью существующей аппаратуры. Постоянно стоит требование повышения разрешения. Единственный путь к этому — создание устройств с большими апертурами. При попытках увеличить входные зрачки далее достигнутых в настоящее время пределов более

удобным (а может быть, даже единственно возможным) подходом оказывается использование принципов интерферометрии (таких, как те, на основе которых проектируются гигантские радиотелескопы с синтезированной апертурой) в противоположность классическому принципу формирования изображений (который лежит и основе обычных оптических телескопов, микроскопов и человеческого глаза).

Интерферометре состоят из дискретных элементов, расположенных в плоскости, которую можно рассматривать как плоскость входного зрачка некоего обобщенного устройства, формирующего изображение. Эффективный размер каждого элемента (например, эффективная площадь приемной апертуры каждой антенны в радиоинтерферометре) обычно существенно меньше эффективною размера любого из подзрачков, о которых говорилось ранее в данном параграфе. Поэтому можно задавать такой типичный элемент одной точкой в плоскости зрачка. При наблюдении пространственно-нскогерентных источников (см. § 3) вычисляется попарная корреляция сигналов, принимаемых элементами интерферометра. Рассмотрим элементы в точках . В большинстве практически важных случаев можно принять эргодическую гипотезу и считать, что выходной сигнал коллектора зависит только от интервала и, разделяющего элементы:

Это предположение но многих случаях прямо вытекает из формулы (8.10), которая тоже, конечно, связана с эргодической гипотезой. Условия, при которых можно говорить об эргодичности, очень сложны (см. литературу, указанную в вводных замечаниях к данной главе), но, как показывает опыт, при формировании изображений пространственно-некогерентных источников интерферометрическим методом очень редко бывают ситуации, когда эрогоднческая гипотеза неприемлема. Поэтому с точки зрения обработки изображений можно считать, что данные интерферометрических измерений относятся к частотной плоскости. Регистрируются не спекл-изображения , а их спектры

что следует из теоремы о свертке [формула (7.7)], примененной к выражениям (34.1) и (34.9). Видностъ — это интерферометрический мин, относящийся к тому, что в данной книге называется спектром (например, — видность истинного изображения

Шум сигнала, принимаемого в плоскости зрачка, конечно, изменяется как с координатой так и с временем (моменты времени нумеруются индексом первые два абзаца настоящего параграфа). Поэтому имеет смысл указывать две точки в плоскости зрачка, связанные с любой заданной составляющей видноети, например Тогда исходные данные с индексами у, к можно представить в виде

причем величина к описывает изопланатическую (т. е. пространственно-независимую) часть относительного искажения в момент времени, вносимого средой, для элементов интерферометра в точках

В некоторых практически важных случаях (например, во многих режимах работы радиоастрономических интерферометров) выполняются условия

при любых целых значениях Подчеркнем, что такие условия не выполняются для спектральных составляющих шума которые следует рассматривать как полностью случайные функции индексов

Интерферометрическую задачу видения можно сформулировать двояко. Упрощенная ингперферометрическая задача видения — это та же «задача видения», которая рассмотрена выше, но только в ней спекл-изображения заменены спектрами [причем эти спектры определяются выражениями (34.11)]. Усложненная интерферометрическая задача видения, которая во многих случаях более близка к реальности, ставится следующим образом: задано множество составляющих видноети при достаточно больших значениях целых чисел требуется реконструировать форму изображения [величины определены выражением (34.12)].

В любой задаче видения, рассматриваемой в данной главе, предполагается, что исходные данные дискретизованы с интервалом, удовлетворяющим всем возможным требованиям.