3. Деконволюция

После того как мы ввели необходимые математические обозначения и изложили основы теории обработки изображений в гл. 1 и 2, перейдем теперь к приложениям. В данной главе будут рассмотрены различные подходы к решению задачи деконволюции, т. е. обращения операции двумерной свертки, которые, как нам представляется, могут быть полезны на практике.

Термин «деконволюция» охватывает наиболее важные и широко используемые методы обработки изображений. Необходимость в такой операции возникает во всех областях науки, связанных с измерениями. Поэтому она встречается на каждом шагу в физике и технике и к ней часто обращаются в химических, биологических и медицинских исследованиях. По методам деконволюции существует большое число обстоятельных монографии, как очень специальных, так и имеющих широкую приложимость [2, 4, 5, 22, 26, 35, 41—43, 74, 100, 163, 237, 254, 282].

В § 14 мы укажем, в чем суть задачи деконволюции и подчеркнем, что желательно представить заданное искаженное изображение в виде, строго соответствующем формуле свертки [66, 81, 209]. Отметим, также, что рассматриваемая задача нередко усложняется в результате усечения искаженного изображения кадровым окном записывающего устройства [196].

Задача деконволюции может быть решена несколькими способами, которые рассматриваются в § 16—19. Выбор наиболее подходящего для решения этой задачи метода зависит от ряда факторов, в том числе от формы и протяженности ФРТ, характера исходного изображения и степени усечения его кадровым окном записывающего устройства.

Какой бы метод ни использовался, почти всегда необходимо провести предварительную обработку заданного искаженного изображения для преобразования его в форму, удобную для выполнения

процелуры деконволюции. Этот решающий тгап в полном процессе деконволюции обсуждается в § 15. Мы считаем целесообразным разделить предварительную обработку изображений на пять категорий: сглаживание, разбиение на фрагменты, аподизацию, расширение границ и сверхразрешение. Под сглаживанием изображения здесь понимается уменьшение зашумленности [194, 203], более детальное обсуждение этой категории обработки мы отложим до гл. 8 и 9. Разбиение на фрагменты [163, 196, 197, 270, 271, 282] включает разделение изображения с пространственно зависимой ФРТ на фрагменты, в каждом из которых ФРТ может приближенно рассматриваться как пространственно-инвариантная. Аподизация [151] — это метол, позволяющий уменьшить влияние кадрового окна (записывающею устройства), которое производит усечение изображения. Однако этот метод может быть менее эффективным, нежели метод расширения границ, который мы удачно применяли в ряде случаев [73, 183, 192, 194, 196, 197, 203, 204, 282]. Известны две модификации метода расширения границ — простое расширение и расширение с перекрыванием. Второй метод, как правило, более предпочтителен, поскольку в нем используются преимущества условия согласованности периодических сверток (§ 14). Это еще один пример [83] того, как повышается эффективность численного метода, когда болееполно учитываются особенности исследуемой задачи в плане математической физики [84]. Сверхразрешение [138, 139, 150, 240, 251] рассматривается как процедура предварительной обработки, поскольку в конечном счете она позволяет уменьшить зашумленность. Кроме того, укажем на нашу попытку осуществить сверхразрешение и восстановление оптически разрешимого изображения звезды Бетельгейзе [198], показывающую, как можно эффективно использовать щраничения формы и симметрии изображения и соответствующей ФРТ.

В § 16 мы рассмотрим мультипликативную деконволюцию, используя винеровский фильтр [4, 154, 163, 165, 249] и эквивалентные гомоморфные фильтры [222, 257]. Мультипликативная деконволюция является наиболее широко используемым методом восстановления

изображения, представимого в виде согласованной свертки. Искаженное изображение, которое не является таким, следует преобразовать к виду согласованной свертки, см. § 15.

Обобщенный подход к субтрактивной деконволюции, недавно разработанный в Кентерберийском университете [61—63], описан в § 17. Этот подход восходит к алгоритму CLEAN (очистка) [47, 156], разработанному для улучшения качества карт небесного свода, полученных в раднодиапазонс с помощью телескопов с синтезированной апертурой. Отметим аналогию между нашим методом «субтрактивной деконволюции» и итерационным методом ван Циттерта решения задачи деконволюции [155]. В конце § 17 в сжатом виде описаны некоторые недавно полученные результаты [64, 104].

Метод субтрактивной деконволюции оказывается особенно полезным, когда дефекты, имеющиеся в записанном изображении, связаны не с потерей разрешения, а с искажением небольших деталей, например в случае, когда ФРТ имеет такой же узкий основной лепесток, как и разрешаемая деталь, но обладает широким хвостом значительной амплитуды или характеризуется высокими боковыми лепестками. Метод субтрактивной деконволюции можно легко модифицировать таким образом, чтобы включить пространственно-зависимые искажения, хотя вычислительная реализация этих методов становится тогда очень сложной.

В § 18 введем и сравним друг с другом и с методами, рассмотренными в § 16 и 17, различные подходы к задаче деконволюции. Эти подходы включают нерекурсивный [57, 132, 157, 158, 190, 191, 231, 242, 282] и рекурсивный [27, 35, 146, 163, 247, 277] методы фильтрации в плоскости изображения, прямые матричные методы [4] и методы максимальной энтропии и максимального правдоподобия [130, 133, 134, 219]. Основная цель § 18 в том, чтобы дать читателю обзор тех наиболее важных методов, которыми мы не пользуемся в своих работах. Из-за недостатка места мы не сможем представить детальные описания. Поэтому будут просто перечислены различные методы и даны замечания, касающиеся их преимуществ и недостатков.

Метод согласованной деконволюции, который возник из наших исследований комплексных нулей в частотной плоскости [65, 81, 209], является в основном одномерным методом, к которому можно так же широко обращаться, как и к методу мультипликативной деконволюции (хотя и с меньшим удобством). Двумерные приложения этого метода [215], которые тесно связаны с теорией проекций (см. § 9 и гл. 5), будут рассмотрены в § 19.

Одним из наиболее важных практических методов деконволюции является метод слепой деконволюции. Этот метод не будет

обсуждаться в данной главе, поскольку более естественно исследовать его в гл. 9 (§ 52). Отметим (см. также вводные замечания к гл. 6), что все методы обработки спекл-изображений можно рассматривать как частные случаи слепой деконволюции.

Кроме известных традиционных и, конечно, полезных, приложений деконволюции существуют и различные ее экзотические применения. Одно из наиболее замечательных таких применений — восстановление методом слепой деконволюции записей голосов знаменитых певцов на старых граммофонных пластинках [222, 257]. Некоторые наши исследования были посвящены криминалистике [197, 203, 282], реконструкции «звездных пятен» [198], анализу фотографий неопознанных летающих объектов [200] и восстановлению изображений спутника Юпитера полученных с космического корабля «Вояджер-1» [194].

В примере 3 представлены иллюстрации вннеровской фильтрации, которая является наиболее широко используемым методом деконволюции. Иллюстрация к процедуре «очистка» (см. § 17) включена в пример 6.