9. Некоторые практические вопросы

При восстановлении изображений важно не только правильно выбрать метод, но и правильно его практически реализовать. Некоторые вопросы практической реализации обсуждаются в данной, последней главе, поскольку для этого нужен материал, изложенный ранее, в особенности в § 5, 15 и 25 и гл. 3, 7 и 8.

Задаче определения ФРТ, которая сама по себе представляет собой частный случай задачи восстановления, посвящен § 52. Мы рассматриваем методы: выявления границ [163, 197, 203, 253, 264, 282], слепой деконволюции [163, 256, 257], выявления нулей [137, 200] и калибровки [4, 111, 194]. Иногда оказывается возможным успешно использовать существующие ограничения на форму и симметрию ФРТ [194, 198, 282].

При заданной ФРТ точность восстановления сильно зависит от уровня зашумленности. Необходимо как можно лучше знать статистику шума, чтобы можно было предельно уменьшить уровень зашумленности до восстановления. Мы исследуем данный вопрос в § 53, при этом рекомендуем работы [4, 14, 162]. Наконец, в § 54 будет рассмотрен вопрос о критериях (субъективных и объективных) точности восстановления [4, 98].

В примере 9 иллюстрируются различные аспекты практических задач, связанных с определением формы ФРТ по фактически записанному изображению (см. также § 4 и 14). Хотя основное внимание здесь уделяется методам, изложенным в § 52, мы напоминаем также некоторые вопросы, касающиеся общего рассмотрения процедуры деконволюции, приведенные в гл. 3 и проиллюстрированные в примере 3.

§ 52. Определение ФРТ

Прежде чем проводить восстановление изображений, нужно определить ФРТ. Мы рассмотрим четыре метола определения ФРТ: выявление границ, слепую деконволюцию, выявление нулей и калибровку.

При выборе метола и его реализации необходимо использовать имеющуюся априорную информацию о ФРТ и об истинном изображении. Сюда относится все, что известно о форме, протяженности и симметрии , а также о наличии резких границ в истинном изображении Оценку функции можно улучшить, если учесть ограничения и свойства симметрии, применить методы улучшения визуального качества изображений (такие, как описанные в § 15 и гл. 8) и затем, наконец, итеративно изменять оценку и определять точность каждой последующей оценки пользуясь некоторой количественной мерой точности восстановления. При определении пространственно-зависимой ФРТ лучше всего разбить заданное искаженное изображение на фрагменты так, чтобы для каждого фрагмента можно было определить наиболее подходящую пространственноинвариантную ФРТ. Конечно, такой метод тесно связан с методом разбиения изображения на фрагменты, изложенным в § 15. Если требуется, то после этого может быть выработана некая единая модель изменения в пределах изображения

Допустим, нам известно, что на истинном изображении имеются линии, в точках которых интенсивность очень резко изменяется, т. е. на изображении имеются “резкие границы”. Метод “выявления границ” основан на том, что положение таких границ обычно можно определить путем просмотра записанного изображения. Конечно, такая процедура всегда носит субъективный характер, но тем не менее она, как правило, достаточно эффективна. Покажем теперь, что сканированием поперек всех найденных (на вид искаженных) границ можно восстановить форму функции пользуясь теорией проекций (см. § 25). Для удобства рассмотрим прямую границу, перпендикулярную оси координат и проходящую через точку . В окрестности этой границы истинное изображение должно иметь следующий вид:

где изображение, которое наблюдалось бы, если бы можно было каким-либо образом удалить его границу, единичная ступенчатая функция

Записанное изображение в окрестности границы представляет собой свертку функций которую полезно записать в полном виде [формула (7.5)]:

где

причем — угол между осями

Положим теперь, что величина мала в окрестности границы. Поскольку

частная производная выражения (52.3) по приближенно равна

где ось, перпендикулярная оси Если вблизи границы функция с изменяется гораздо медленнее, чем то в силу изложенного в § 9 правая часть равенства (52.6) пропорциональна проекции функции под углом Путем поперечного сканирования всех обнаруженных различных границ и повторного их сканирования в других местах (если они являются достаточно длинными) мы можем за счет усреднения устранить многие эффекты, связанные с изменениями функции . В результате мы получим набор приближенных проекций отвечающих разным углам. Далее теория, изложенная в § 25, позволяет найти оценку для ФРТ.

Во многих практических приложениях форма ФРТ очень проста. Часть ФРТ можно считать одномерной или обладающей свойством круговой симметрии, и в этих случаях для полного определения достаточно одной проекции. В случае одномерной ФРТ, изменяющейся в направлении , мы имеем

где функция усредненная по всем сканированным границам, угол между осями

Если имеется некоторая последовательность записанных изображений таких, что каждое изображение с достаточной точностью представляется в виде

то можно пользоваться методом слепой деконволюции. Истинные изображения последовательности рассматриваются как принадлежащие к одному классу, т. е. при всех своих

различиях имеющие существенные общие характеристики. Рассмотрим, например, одну большую фотографию, содержащую какой-то мере сходные предметы (скажем, дома или деревья на огороженных участках), полученную при помощи фотокамеры с дефектной оптической системой, ФРТ которой размывает точку в область малую по сравнению со всей фотографией. Тогда изображения можно получить, разбив фотографию на фрагменты, каждый из которых в несколько раз больше области Чтобы избежать артефактов, такое разбиение должно осуществляться методом расширения границ или аподизации (см. § 15), а не просто усечением. Для сравнения необходим другой набор истинных изображений , все члены которого принадлежат тому же самому классу, что и изображения Например, изображения можно получить путем разбиения другой фотографии аналогичной сцены, снятой хорошо настроенной камерой. Дома или деревья и огороженные участки необязательно должны быть точно такими же, как и ранее. Требуется только, чтобы они были подобного же типа. Иными словами, все истинные изображения, о которых говорилось выше, могут быть неодинаковыми, но их статистика в идеале должна быть идентичной. На практике, конечно, всегда будут различия в статистике двух указанных наборов истинных изображений; но мы просто хотим сказать, что метод деконволюции, рассматриваемый в следующем абзаце, эффективен тогда, когда такие различия малы.

По аналогии с обработкой, описанной в § 36 (с использованием введенных там обозначений), оценка для представляется в виде

поскольку (и в этом суть метода слепой деконволюции) условия, указанные в предыдущем абзаце, позволяют предположить, что

причем символ означает здесь “практически равно”. Хотя для восстановления фазы по модулю спектра вообще говоря, необходимы методы, изложенные в гл. 4, такое восстановление иногда [например, если форма очень проста] может быть выполнено путем просмотра на дисплее.

Отметим, что метол слепой деконволюции аналогичен различным методам обработки спекл-изображеннй, описанным в гл. 6.

Существуют важные технические приложения, в которых заранее известно, что имеет простую форму. Примером могут служить изображения, смазанные из-за движения камеры относительно объекта или искаженные из-за расфокусировки объектива. Но для

восстановления истинного изображения недостаточно знать, что функция имеет простую форму. Необходима дополнительная информация о том, какова эта форма ФРТ. В указанных примерах мы должны оценить параметры смешения при экспозиции или степень расфокусировки объектива.

Если форма ФРТ простая, то ОПФ обычно имеет резко выраженные вещественные нули, которые можно легко обнаружить в спектре записанного искаженного изображения. Поскольку ОПФ часто полностью определяется своими нулями (§ 13), такой подход, основанный на визуальном выявлении нулей, иногда очень удобен для оценки формы ФРТ при условии, что путем просмотра действительно можно найти достаточно большое число нулей ОПФ .

Смаз, связанный с линейным перемещением, описывается обращающейся в нуль на параллельных прямых линиях в частотной плоскости. Лишь в случае весьма сложного движения при съемке мнимые части некоторых нулей становятся большими, так что линии, на которых расположены эти нули, оказываются не очень заметными. Если же эти мнимые части достаточно малы, то пренебрежение ими, как правило, не приводит к искажению формы восстанавливаемой с помощью численных процедур, описанных в § 13. Если ФРТ обладает эллиптической симметрией (как в случае искажения, обусловленного расфокусировкой» имеющего, очевидно, круговую симметрию, так как дефекты расфокусировки не зависят от направления в плоскости изображения), то ее спектр будет иметь нули на квазиэллипсах в частотной плоскости. Выявление таких нулей лает возможность установить симметрию ФРТ и детально оценить ее форму путем подбора модели. Если искажение связано с самым простым случаем расфокусировки, когда ФРТ постоянна в пределах круга в плоскости изображения и равна нулю вне этого кругато по нулям ОПФ можно сразу же приближенно оценить диаметр этого круга, поскольку идеальная форма такой ОПФ пропорциональна где радиальная координата в частотной плоскости, а — функция Бесселя первого рода нулевого порядка (таблицы нулей которой приводятся во многих справочниках).

Иногда выгоднее заранее запланировать обработку изображений, нежели пытаться провести предварительную настройку устройства, формирующего изображение. Это стало в настоящее время обычной практикой при получении предельного разрешения наилучших электронных микроскопов (при этом смиряются с неустранимыми аберрациями электронных линз, выполнив лишь все возможные дополнительные измерения, которые позволили бы оценить параметры, характеризующие аберрации). Таков единственный возможный подход в

случае, когда аберрации изменяются со временем, но достаточно медленно, так, что ФРТ можно было оценить по изображению контрольного объекта либо до, либо после записи изображения исследуемого объекта. Подобный способ определения ФРТ мы называем калибровкой, поскольку он требует регистрации контрольного записанного изображения для которого известно истинное изображение называемое контрольным истинным изображением. Калибровка сводится к задаче деконволюции: заданы требуется восстановить исходя из того, что эти величины связаны соотношением

Поскольку функции играют роль функций введенных в гл. 3, опенку функции можно получить любым из методов, описанных в гл. 3, который покажется нам наиболее подходящим. Если известно, что одномерная функция, то ее можно оценить независимо вдоль большого числа параллельных прямых на записанном изображении, что позволяет улучшить конечную оценку за счет усреднения. Такая процедура пригодна для удаления линейного смаза на изображениях планет и их спутников, получаемых с космических аппаратов. Удовлетворительные результаты могут быть получены, даже если изображения записываются при не совсем одинаковых условиях.

Из указанных выше четырех методов самый простой — калибровка. Если она невозможна, прибегают к методу выявления нулей. Но он пригоден только в случае некоторых простых типов ФРТ. Следующий метод — выявление границ, а если он окажется неудовлетворительным, то у нас есть еще метод деконволюции. Даже когда все методы непригодны, еще не все потеряно, если имеется необходимая априорная информация относительно тогда можно опробовать целый ряд ФРТ различного типа и выбрать из них ту, которая дает “наилучшие результаты”.

Проведенное нами восстановление “звездного пятна” на сверхгиганте Бетельгейзе может служить примером процедуры в случае, когда априорная информация о ФРТ весьма неполна. При восстановлении плохо разрешенного оптического изображения звезды мы имели изображение и сомнительную оценку ФРТ, обозначим ее через полученную с использованием данных о другой, соседней звезде, относительно которой известно, что она неразрешима тем телескопом, который использовался для сбора всех данных изображения. Ни ни не были функциями с круговой симметрией, хотя у нас были реальные физические основания полагать, что истинная ФРТ

должна обладать круговой симметрией. Поэтому мы построим средние круговые варианты функций Центры симметрии функций были вначале оценены путем наилучшей аппроксимации (в пределах порога, отвечающего уровню шума) их периметров окружностями.

Путем мультипликативной деконволюции (см. § 16) с использованием функции мы получили из функции вариант истинного изображения, обладающий грубой круговой симметрией. С астрофизической точки зрения мы могли претендовать лишь на то, чтобы по функции оценить видимый диаметр звезды Бетельгейзе и параметры, характеризующие потемнение ее лимба (т. е. уменьшение яркости в направлении к краям). Поэтому мы наилучшим образом аппроксимировали моделью затемненного по лимбу диска, обладающего свойством круговой симметрии, который мы обозначим здесь через Путем деконволюции с использованием функции мы получили из улучшенную оценку для ФРТ. И в заключение мы выявили асимметричную деталь на диске звезды Бетельгейзе, выполнив деконволюцию функции с использованием Важный момент во всем этом то, что мы очень эффективно использовали гипотезу круговой симметрии. Такое значение может иметь “наивная простота” в технике обработки изображений.

Почти в любом приложении первоначальную оценку ФРТ можно улучшить за счет процедуры улучшения визуального качества изображений (см. § 15 и методы, обсуждавшиеся в гл. 8) и использования таких ограничений, как неотрицательность изображения. Другие возможные ограничения могут относиться к нормировке и протяженности ФРТ. Сглаживание или повышение резкости часто достигается пространственной фильтрацией функции