§ 29. Дискретные проекции

На практике, конечно, возможно измерить лишь конечное число проекций. Поэтому, как и в § 14, важно проводить различие между истинным изображением и наилучшей возможной его оценкой которую может дать реконструкция по известным данным. Кроме того, необходимо проводить различие между спектром изображения и спектром его оценки

Задача о дискретных проекциях ставится следующим образом: заданы проекции в интервалах - причем и все значения различны: требуется путем реконструкции получить опенку истинного изображения считая, что проекция определена выражением (9.4).

В обычной практике реконструкции изображений принято получать оценку путем применения к заданным проекциям процедуры модифицированного обратного проецирования (§ 33). Поэтому важно знать, в какой степени вообще оценка может быть искажена сравнительно с истинным изображением Это удобно характеризовать протяженностью спектра пространственных частот оценки а именно кругом радиуса на частотной плоскости, вне которого функция пренебрежимо мала, т. е.

Согласно теореме о проекции (9.5), проекция характеризует функцию на прямой линии, проходящей через начало координат частотной плоскости под углом к оси и. Таким образом,

заданные проекции определяют частотную плоскость на (расположенных, вообще говоря, нерегулярно) «спицах», каждая из которых соответствует одному значению конечно, углу Корректность процедуры получения отсчетов на частотной плоскости зависит от наибольшего интервала между “спицами” на окружности При эквидистантном расположении проекций, например при

этот интервал равен Теорема отсчетов (§ 10) требует тогда, чтобы величина была не больше На большей части частотной плоскости отсчеты берутся, конечно, чаше, чем с интервалом Фактически интервал между отсчетами пропорционален Поэтому принято считать, что фактический полный интервал дискретизации приближенно равен (см. замечание 2 в § 25). Отсюда следует, что

С точки зрения практики задача о дискретных проекциях, видимо, является наиболее важной из всех теоретических задач ВТ. Поскольку “разрешение” - основная характеристика качества изображения, имеет смысл вывести условие (29.3) также и другим способом.

Для удобства представим проекцию в виде ряда Фурье, как в формуле (9.7). В силу формулы (9.15) по заданным проекциям можно оценить величин в интервале - если размер изображения задастся условиями (25.1). Полагая (произвольно), что целое число, изменяющееся от до предположим, что заданные проекции интерполируются в диапазоне в соответствии с формулой

так что при всяком значении и всех значениях в интервале - имеем

Коэффициенты находятся путем решения этой системы линейных неоднородных алгебраических уравнений (при каждом значении О методом, например, обращения матрицы. Если значения эквидистантны, так что выполняется условие (29.2), то коэффициенты можно оценить непосредственно с помощью ДПФ (и его эффективной численной реализации — алгоритма БПФ, см. § 12).

Аппроксимировав реконструируемое изображение рядом Фурье, подобным ряду (29.4). т. е. положив

в силу формул (9.7), (9.8) и (9.10) и (9.13) с заменой на и из условия (29.1) получим, что

где принято обозначение для функций одной переменной, введенное в формуле (6.17).

При функция Бесселя приблизительно пропорциональна синусу вещественной положительной переменной деленному на При если веществен нос число, функция Бесселя моноотонно и быстро стремится к нулю с уменьшением х. Следовательно, выражение (29.7), вообше говоря, будет малым при любом значении превышающем наибольшее допустимое значение Из формул (25.1), (29.4) и (29.7) явствует, что максимальные значения равны Отсюда следует, что выражение (29.7), вообше говоря, может быть отличным от нуля при всех только если

где целое число, достаточно большое для того, чтобы гарантировать малость величины в соответствии с любым критерием, соответствующим конкретному приложению. Вне зависимости от конкретного приложения число значительно меньше числа (когда большое), так что предельное значение величины равно приблизительно Поскольку функция быстро стремится к нулю при уменьшении если отношение меньше величины порядка мы можем взять удвоенное предельное значение Таким образом, снова получается условие (29.3).

Когда проекционные данные неидеальны (по причинам, указываемым в §§ 30—32). имеющиеся данные можно представить в частотной плоскости как

где коэффициент спектральной неидеальности. Фурье-образ этого коэффициента назовем неидеальной дельта-функцией:

Из теоремы о свертке (7.3) следует, что

Коэффициент удобно нормировать в соответствии с условием

так чтобы в случае идеальных данных, т. е. при мы имели

На практике наиболее явным образом неполнота заданных проекционных данных обнаруживается в наличи многочисленных “полосок” во всей области существования . Если выполняется условие (29.3), то такая “полосчатость”, как правило, ничему не мешает. Такие “полоски” отвечают “пустотам” коэффициента неидеальности тому, что величина практически равна нулю на значительной части той области частотной плоскости, для которой

По формуле (29.4) при значениях о, отличных от заданных значений можно вычислить проекции, отличные от заданных. Такие проекции называются интерполированными. При их использовании изменяется коэффициент неидеальности а следовательно, и но нельзя сказать однозначно, что это приводит к заметному повышению разрешения, хотя визуальное качество изображения иногда улучшается.

Несмотря на большие усилия, затраченные на разработку интерполяционных схем, полученные результаты по большей части разочаровывают. Обычно практически не удается “заполнить пустоты” коэффициента неидеальности По-видимому, применение интерполяции может быть успешным, только если имеется некая априорная информация, “сильная” и легко включаемая в процедуру реконструкции. Примером может служить случай, когда известно, что часть изображения характеризуется постоянной интенсивностью. Предположим, например, что изображение задано выражением (21.1) при ограничении (21.4) и, кроме того, в области

Форма кадров и может быть произвольной. Информация, содержащаяся в условии (29.13), будет ценной, даже если размер кадра не известен. Часто оказывается, что границу кадра с приемлемой точностью можно определить визуально, лаже если данные настолько неполны, что изображение зашумлено сильной “полосчатостью”. Это позволяет найти оценку константы как интеграл изображения по внутренней области (опенки) кадра деленный на илошадь кадра. Конечно, строгое обоснование такого способа

отсутствует, но проводимые ниже рассуждения покажут, почему в такой процедуре нет ничего неестественного.

Различие между оценкой И и константой уменьшается с увеличением кадра Поэтому мы можем представать себе кадр занимающий некую пустую область в напомним, что кадры 12, и физически разделены, поскольку удовлетворяют условию (21.4). Поэтому фаза величины должна сильно изменяться с изменением и и чем сильнее, тем больше величина наименьший размер выпуклой огибающей границы кадра . В силу определения (7.17) аналогичными должны быть фазовые изменения величины Следовательно, величина

должна быть, по-видимому, мала (поскольку осцилляции подынтегрального выражения должны в значительной мере самокомпенсироваться). Но в силу формул (6.13), (7.3), (7.17), (29.9) и (29.11) имеем

Подставляя фурье-образ выражения (21.1) в выражение (29.15), получаем

где

Из-за “пустот” в компенсация в подынтегральном выражении (29.17). вообще говоря, должна быть менее полной, чем в формуле (29.14). И все же во многих случаях можно надеяться, что величина будет значительно меньше второю члена в выражении (29.16). Из формул (7.17) и (29.13) явствует, что

так что равенство (29.16) сводится к приближенному соотношению

Закон сохранения энергии (6.22) и определение (7.17) показывают, что

Если выпуклая огибающая границы калра имеет некруговую форму, то основной лепесток функции будет несимметричным.

Его максимальная фактическая ширина равна поскольку (как уже указывалось) наименьшая ширина выпукло» огибающей границы кадра Это означает, что величина мала при Если заданы V эквидистантных проекции, то интервал дискрети зации на окружности радиусом с цен ром в начале частотной плоскости приблизительно равен . В соответствии с теоремой отсчетов этот интервал не должен превышать (см. § 10). Таким образом, число должно быть равно всег о лишь 4. Стало быть, интеграл (29.19) может быть близким к левой части равенства (29.20), даже если сравнительно велики.

Введенная ранее величина лается выражением

где площадь визуальной оценки кадра При можно считать, что величина близка к константе И, если достаточно хорошая оценка кадра