§ 13. Комплексная частотная плоскость

Иногда оказывается полезным обобщить понятие одномерной частотной области и перейти к комплексной частотной плоскости. Рассмотрим функции такие, что

Здесь используются обозначения, введенные в формуле (6.17). Вещественная постоянная удовлетворяет условию

так что функция, описывающая одномерное изображение конечной протяженности, центр сегмента (см. § 7) которого совпадает с началом координат. Функцию которую мы будем считать вещественной, удобно представить в виде тригонометрического ряда:

где предел суммирования всегда можно взять конечным [см. абзац, содержащий формулу (10.3)].

Теперь можно перейти от вещественной переменной к комплексной

где мнимая часть комплексного числа , которую не следует путать с декартовой координатой в частотной плоскости, введенной перед формулой (6.11). Функциональная зависимость также может

быть представлена в обобщенном виде:

При выводе соотношения (13.5) использованы соотношение (13.3) и свойство симметрии, описываемое условиями (8.1) и (8.2), а также те же самые алгебраические преобразования, которые привели от формулы (10.2) к формуле (10.4). Из вида правой части соотношения (13.5) явствует, что аналитическая функция при всех конечных значениях Функция называется целой функцией экспоненциального типа. Обращаясь к определению (6.4) и формуле

можно получить, что соотношение (13.5) выражается в ниде

где К — вещественная неотрицательная константа. Система констант называется системой комплексных нулей функции расположенных в правой полуплоскости. Для удобства определим

Из выражения (13.7) видно, что каждый нуль функции в правой полуплоскости имеет свое отражение относительно мнимой оси, так что все ее нули определяются нулями в правой полуплоскости, которые составляют счетное бесконечное множество вещественных чисел (равных при чисел, которые могут быть комплексными (это константы при .

Соотношение (13.5) можно представить также в виде

где

Путем несложных, но трудоемких преобразований формула (13.10) может быть представлена в виде

где коэффициенты полинома , имеющие порядок выражаются через величины Для расчета комплексных нулей можно применить стандартные компьютерные программы «нахождения корней». Если число будет чересчур большим, то константы рассчитываются с применением к выражению (13.10) метода «градиентного поиска».

Для удобства в дальнейшем введем краткие обозначения для множества нулей. Для некоторой функции, изменяющейся только по одной переменной в частотной плоскости и имеющей соответствующий одномерный фурье-образ символом мы будем обозначать множество нулей в правой полуплоскости, характеризующих фурье-образ в комплексной плоскости. Множества вещественных нулей и нулей, которые могут быть комплексными, обозначим через соответственно:

Наконец, отметим, что, имея заданное множество нетрудно рассчитать функцию поскольку из формул (13.4), (13.6) и (13.7) следует, что

Во многих приложениях не требуется знать величину но ее легко найти, пользуясь формулой (13.7), если известно значение (а это условие часто выполняется).

Рассмотрим теперь спектр определенный в виде

где и — вещественные числа. Отметим, что

Выполняя преобразование Фурье функции (13.14), вспоминая теорему о свертке (7.3) и вводя обозначение получаем

Для определенности положим, что Вычислим функцию по теореме Коши, замкнув контур интеграла Фурье на бесконечности в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости в соответствии с условиями

Подставляя этот результат в формулу (13.16), находим

Вспоминая теперь определение (13.1), получаем

Кроме того, по определению если любая из величин или если при любом целом числе Таким образом, из формулы (13.19) и определения величины следует, что функция

Условия (13.20) не изменяются, если если же то тогда поскольку

Условиями (13.20) хорошо иллюстрируется одномерный случай теоремы о минимальной протяженности автокорреляции [формула (7.13)]. Данная теорема применима к изображениям протяженностью Если функция является вещественной [это единственное, что требуется для разложения в ряд (13.3)], то ее протяженность может быть либо либо да. Но если налагается условие неотрицательности значений то тогда из одномерной формы теоремы об ограничении протяженности [формула (8.15)] следует, что протяженность этой функции должна быть равна На сегменте ее изображения, который должен иметь протяженность автокорреляция функции может быть представлена в виде

где константы, а положительное целое число настолько велико, что выражение (13.21) с той же точностью представляет автокорреляцию, с какой выражение (13.3) представляет функцию Из равенства (13.15) и теоремы об автокорреляции [формула (7.10)] следует, что

так что множество нулей, определяющих величину которая представляет собой предел выражения при

следует записать в виде согласующемся с обозначениями, введенными ранее в данном параграфе. Заменяя величины величинами соответственно, в тексте второго и третьего абзацев настоящего параграфа, видим, что величина 2 может быть рассчитана но заданной величине так же, как величина может быть рассчитана по заданной величине Заметим, далее, что из соотношений (13.9)-(13.11) следует равенство

где полином порядка нули которого образуют четверки, расположенные симметрично относительно начала координат комплексной -плоскости:

Обозначив через множество, элементами которого являются величины, комплексно-сопряженные элементам множества можно получить соотношение