§ 10. Уравнения Аппеля для неголономных систем. Псевдокоординаты

В этом параграфе мы выведем уравнения Аппеля, определяющие движение неголономной системы. Пусть на неголономную систему наложены конечных и дифференциальных связей (см. § 1). Использовав сначала только конечных связей, мы выразим радиусы-векторы точек системы через независимых координат и время

Отсюда

и

Однако удовлетворяют еще дифференциальным связям

где и являются функциями от и .

Подставив выражения (1) и (2) для в уравнения связей (3), мы представим эти уравнения в виде

где коэффициенты А при и свободные члены являются функциями

Таким образом, для неголономной системы координаты могут принимать произвольные значения, но при этом обобщенные скорости уже не могут быть

произвольными; они связаны между собой соотношениями (4). Считая связей (4) независимыми, мы можем из уравнений (4) выразить обобщенных скоростей, например через остальные число степеней свободы системы; см. стр. 19). Скоростям можно давать произвольные значения, и тогда уже определятся значения остальных скоростей.

Однако мы пойдем по более общему пути и в качестве независимых величин возьмем не — число степеней свободы) обобщенных скоростей, а некоторые независимых линейных комбинаций этих скоростей

где — функции от и

На линейные формы (5) нужно наложить лишь одно условие: эти линейных форм вместе с линейными формами

должны образовать полную систему из линейно независимых форм, т. е. определитель, составленный из коэффициентов этих форм, должен быть отличен от нуля. Тогда величины смогут принимать произвольные значения, так как при любых значениях этих величин мы найдем соответствующие разрешая систему линейных уравнений (4) и (5). При этом получим

где — функции

Величины являющиеся линейными формами от обобщенных скоростей, будем называть псевдоскоростями, а символы — псевдокоординатами . В частности, могут совпадать с некоторыми обобщенными скоростями.

В общем же случае величин связаны зависи мостями (5) и (6).

Для того чтобы найти ограничения, налагаемые дифференциальными связями на виртуальные перемещения нужно (см. § 2) в уравнениях (4) отбросить свободные члены А и заменить на . Тогда мы получим

В соответствии с равенствами (5) вводим обозначения

По предположению формы (4) и (5) линейно независимы. Поэтому могут принимать произвольные значения, а соответствующие определятся из системы уравнений (4) и (5):

Выражение для работы элементарных сил на виртуальных перемещениях можно представить в виде

где, как и для голономной системы,

Теперь, подставив в равенство (7) вместо выражения (6), найдем

т. е.

где

Величины будем называть обобщенными силами, соответствующими псевдокоординатам

С другой стороны, подставляя в равенства (2) выражения (6) для мы получаем

где — некоторые вектор-функции от и

Из равенств (10) находим

и

при этом в правых частях формул (12) выделены лишь члены, содержащие псевдоускорения

С помощью равенств (8) и (11) запишем общее уравнение динамики

в таком виде:

Так как совершенно произвольные множители, то отсюда следует:

Введем в рассмотрение «энергию ускорений»

Замечая, что на основании формул (12)

мы уравнения (15) можем записать так:

Уравнения (18) были впервые получены Аппелем и носят название уравнений Аппеля.

Эти дифференциальных уравнений совместно с уравнениями связей

и с дифференциальными соотношениями

образуют систему дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы.

Запишем уравнения Аппеля в развернутом виде, для чего в формулу (15) подставим вместо выражения (12). Тогда получим

где

Через в уравнениях (21) обозначены члены, не содержащие псевдоускорений .

Можно доказать, что определитель, составленный из коэффициентов не равен тождественно нулю:

Тогда уравнения (21) можно разрешить относительно псевдоускорений

С другой стороны, соотношения (19) и (20) также можно представить в виде, разрешенном относительно [см. формулы (6)].

Таким образом, движение неголономной системы определяется системой дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций причем эти уравнения разрешены относительно производных. Тогда задание начальных данных , однозначно определяет движение системы. Но с помощью этих начальных данных формулами (1) и (6) задаются совместимые со связями произвольное начальное положение и произвольные начальные скорости. Поэтому задание начального положения системы и начальных скоростей, не противоречащих конечным и дифференциальным связям, однозначно определяет движение неголономной системы.

Замечание 1. Если в частном случае в качестве псевдоскоростей взяты независимых обобщенных скоростей, например то для определения соответствующих

обобщенных сил нужно в равенстве (7) выразить через

В этом случае энергию ускорений можно представить в виде функции и уравнения Аппеля принимают вид

Замечание 2. Уравнения Аппеля можно, в частности, применить и к голономной системе. В этом случае все скорости будут независимыми, и уравнения (26) представляют собой другую запись уравнений Лагранжа второго рода.

Рис. 28.

Примеры. 1. При помощи уравнений Аппеля определим движение системы, описанной в примере § 3 (см. стр. 28). Это позволит читателю сопоставить два метода отыскания движения неголономной системы — с помощью множителей Лагранжа и с помощью уравнений Аппеля — и убедиться в преимуществах второго. Введем в качестве независимых координат координаты центра стержня х, у и угол образованный отрезком с горизонтальной осью х (рис. 28). Тогда

Уравнение дифференциальной связи в новых координатах принимает вид

Энергия ускорений как легко проверить, выразится следующим образом:

Введем псевдоскорость полагая

тогда

где невыписанные члены не содержат ускорений. Определим обобщенные силы. Для этого напишем

Отсюда

Составим уравнения Аппеля

В данном случае эти уравнения не содержат координат х, у и имеют вид

Интегрируя, получаем

Найдем х и у:

Отсюда

Подставляя вместо получаем конечные уравнения движения, содержащие пять произвольных постоянных:

2. Покажем, каким образом из уравнений Аппеля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с закрепленной точкой О.

Пусть — проекции угловой скорости на главные оси. инерции Они, как известно, представляют собой линейные комбинации обобщенных скоростей где — углы Эйлера (см. стр. 42—43). Поэтому мы можем принять за три псевдоскорости. Вычислим анергию ускорений:

Заметим, что Здесь — и означают соответственно дифференцирование в неподвижной системе осей и в системе осей, неизменно связанных с телом. Поэтому — проекции углового ускорения в на оси

Тогда по аналогии с выражением для кинетической энергии

(А, В и С — моменты инерции относительно главных осей инерции и мы можем написать

С другой стороны, кинетический момент имеет компоненты Поэтому окончательно получаем следующее выражение для

С другой стороны, для элементарной работы внешних сил имеем

Поэтому уравнения Аппеля непосредственно дают уравнения Эйлера