ГЛАВА III. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

§ 16. Принцип Гамильтона

Рассмотрим произвольную голономную систему с независимыми координатами и функцией Лагранжа

Интеграл

называется действием (по Гамильтону) за промежуток времени а выражение элементарным действием.

Так как функция имеет вид то для вычисления действия (1) необходимо задать функции в интервале времени Другими словами действие есть функционал, зависящий от движения системы.

Если мы произвольно зададим функции то получим некоторое кинематически возможное (т. е. допускаемое связями) движение. В расширенном -мерном координатном пространстве, где координатами являются величины и время это движение изображается некоторой кривой. Мы будем рассматривать всевозможные такие кривые

«пути», проходящие через две заданные точки пространства рис. 29 для т. е. все возможные движения, переводящие систему из данного начального положения которое она занимала в момент времени в данное конечное положение которое она занимает в момент времени При этом заранее фиксируется начальный и конечный моменты времени начальное и конечное положения системы. В остальном движения произвольны.

Рис. 29.

Если система натуральная и несвободная, то рассматриваемые здесь движения подчиняются лишь одному ограничению: при движении системы наложенные на точки системы связи не должны нарушаться. Это условие выполняется автоматически, когда мы задаем движение в независимых координатах, полагая

Допустим, что среди рассматриваемых путей имеется так называемый «прямой» путь, т. е. путь, по которому может двигаться система при заданной функции (т. е. в данном силовом поле). Для прямого пути функции удовлетворяют уравнениям Лагранжа

Все остальные пути, проходящие через точки будем называть «окольными» путями. (На рис. 29 прямой путь изображен сплошной линией, а окольные пути пунктирными линиями.)

Мы докажем, что действие имеет для прямого пути экстремальное (точнее, стационарное) значение

по сравнению с окольными путями. В этом и заключается принцип Гамильтона.

Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство путей

содержащее в себе при данный прямой путь; при получаются окольные пути. Пусть все эти пути имеют общее начало и общий конец

Действие вычисленное вдоль пути, принадлежащего этому семейству, представляет собой функцию параметра

Вычислим вариацию действия т. е. дифференциал по а:

Здесь мы преобразовали интеграл при помощи интегрирования по частям, использовав для этого перестановочность

операции варьирования 8 и операции дифференцирования по времени

Прямой и все окольные пути проходят через фиксированные начальную и конечную точки в расширенном координатном пространстве. Поэтому при и при вариации и проинтегрированная часть обращается в нуль.

Из равенства (3) видно, что для прямого пути, т. е. при а выражение, стоящее под знаком преобразованного интеграла, в силу уравнений Лагранжа, равно нулю. Поэтому

Это и есть математическое выражение принципа Гамильтона.

Имеет место и обратное утверждение: если для некоторого пути то этот путь является прямым. Действительно, вследствие произвольности вариаций (они на концах равны нулю, в остальных же точках пути совершенно произвольны) из условия в силу равенства (3), следуют равенства (2), т. е. уравнения Лагранжа для прямого пути.

Поскольку из принципа Гамильтона вытекают уравнения Лагранжа в независимых координатах (и наоборот), то принцип Гамильтона может бить положен в основу динамики голономных систем.

Прямые пути, т. е. «истинные» движения при заданной функции могут быть охарактеризованы как при помощи дифференциальных уравнений движения в форме Лагранжа, так и при помощи вариационного принципа Гамильтона. Однако между дифференциальными уравнениями движения и вариационными принципами имеется одно принципиальное различие.

Дифференциальные уравнения движения выражают некоторую зависимость, связывающую между собой момент времени положение системы, скорости, и ускорения ее точек в этот момент. Если эта зависимость выполняется в каждой точке некоторого пути, то этот путь является прямым. Вариационный же принцип характеризует весь прямой путь в целом. Он формулирует экстремальное (стационарное) свойство некоторого функционала, выделяющее прямой путь среди других кинематически возможных путей. Вариационные принципы имеют более обозримую и компактную форму и часто используются в качестве фундамента для новых (неклассических) областей механики.

Замечание. Дифференциальные уравнения (2) представляют собой необходимые и достаточные условия для того, чтобы равнялась нулю первая вариация где интеграл имеет вид (1). В вариационном исчислении уравнения (2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для вариационной задачи

Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же эти уравнения в случае натуральной системы были получены из общего уравнения динамики

Покажем, как принцип Гамильтона может быть непосредственно обоснован с помощью общего уравнения динамики (5). Тогда уравнения Лагранжа сразу получаются из принципа Гамильтона.

Если в выражениях для

вместо подставить функции , то станет сложной функцией от и а. Продифференцируем ее по а, т. е. вычислим вариации

Эти формулы совпадают с формулами (8) на стр. 44, определяющими виртуальные перемещения точек голономной системы. Таким

образом, вариации радиусов-векторов при любом являются виртуальными перемещениями точек системы.

В справедливости этого положения можно убедиться и не прибегая к формуле (6), а исходя только из определения вариации и виртуального перемещения. Действительно, вариация представляет собой бесконечно малое перемещение точки системы переводящее точку траектории, получающейся при некотором фиксированном значении а (для прямого пути в точку смежной траектории, соответствующей значению параметра (рис. 30). При этом обе точки берутся для одного и того же момента времени так как при дифференцировании по а значение фиксируется. Следовательно осуществляет переход из одного возможного положения точки в момент времени в другое возможное положение для того же момента — виртуальное перемещение точки системы

Рис. 30.

Таким образом, в общем уравнении динамики (5) мы можем считать вариацией радиуса-вектора Но тогда можно изменить последовательность выполнения операции — и операции дифференцирования по а:

Поэтому

где — вариация кинетической энергии

Обозначая по-прежнему через элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях мы с помощью преобразования (7) записываем уравнение (5) в виде

Проинтегрируем обе части этого уравнения по в пределах от до

Здесь означает разность между значениями (при ) выражения, стоящего в квадратных скобках. Но при радиус-вектор не варьируется, поскольку начальное и конечное положения системы заранее фиксированы:

Поэтому при и при Второй член в равенстве (8) равен нулю, и это равенство принимает вид

Рассмотрим тот случай, когда силы имеют потенциал . В этом случае

где виртуальный дифференциал (вариация) функции и равенство (9) записывается так:

откуда

Таким образом, основное уравнение динамики (5) привело нас к принципу Гамильтона а отсюда, как было? указано выше, сразу получаются уравнения Лагранжа

В случае непотенциальных сил для получения уравнений Лагранжа следует исходить из равенства (9) [вместо равенства (4)].

Применяя к интегралу формулу (3) [с заменой функции функцией ] и используя выражение для элементарной работы активных сил мы найдем

Отсюда, в силу произвольности величин должны быть равны нулю выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла (10), т. е. для прямого пути должны выполняться уравнения Лагранжа

Рис. 31.

Выясним, является ли значение действия для прямого пути наименьшим по сравнению с окольными путями.

Рассмотрим в качестве примера движение несвободной материальной точки, вынужденной двигаться по сфере при отсутствии силового поля (движение по инерции на сфере). Пусть масса точки . В сферических координатах (рис. 31)

Для прямого пути

( — циклическая координата), т. е.

Без нарушения общности можем считать, что для прямого пути начальная скорость направлена по меридиану тогда

Таким образом, прямой путь представляет собой равномерное движение по дуге большого круга. При этом

Длина дуги большого круга меньше длины любой другой кривой на сфере, соединяющей те же точки Поэтому

Однако это справедливо лишь тогда, когда Если то уже не всегда будет меньше а наименьшее значение действия будет достигаться на дополнительной дуге большого круга, которая в этом случае будет представлять собой кратчайшее расстояние между Если будем двигать точку по дуге большого круга, увеличивая эту дугу, то критической точкой М (до этой точки будет минимумом, а после перехода точки через М уже не будет таковым) является точка, диаметрально противоположная точке

Аналогично обстоит дело и в общем случае. Доказывается, что если точка выбрана достаточно близко к то через проходит один прямой путь. Но при достаточном удалении точки от через может

проходить два прямых пути или даже целый пучок прямых путей. Такое положение М точки называют сопряженным кинетическим фокусом для Установлено, что действие вдоль прямого пути имеет наименьшее значение по сравнению с окольными путями, если на дуге нет сопряженного для кинетического фокуса