§ 44. Малые колебания упругих систем

В качестве важного примера малых колебаний консервативной системы рассмотрим и масс сосредоточенных в точках упругой системы (струны, стержня, мембраны, пластины и т. д.), имеющей конечные размеры и каким-либо образом закрепленной на краях.

Будем предполагать, что перемещения (прогибы) точек системы и действующие на массы силы параллельны одному и тому же направлению и потому определяются своими алгебраическими величинами (рис. 50). Прогибы можно рассматривать как независимые координаты системы, а силы — как соответствующие обобщенные силы, так как элементарная работа этих сил равна

При исследовании свободных колебаний мы в качестве сил берем упругие силы действующие на массы со стороны упругой системы при наличии прогибов . Рассматриваемая система материальных точек, находящихся под воздействием упругих сил, является консервативной и имеет определенную потенциальную энергию Разлагая функцию в степенной ряд и сохраняя в этом ряду только квадратичные члены (см. § 40), получаем для П выражение

Тогда для упругих сил находим

Рис. 50.

Считая положение равновесия устойчивым, принимаем, что квадратичная форма (1), выражающая потенциальную энергию как функцию прогибов, является положительно определенной:

Кинетическая энергия системы имеет простой вид:

В поисках гармонического колебания (как это мы делали в § 40) приходим к уравнению частот

и алгебраическим уравнениям для определения амплитуд

Система имеет и частот

и соответствующие амплитудные столбцы свободные колебания определяются формулой

где — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.

Пусть внешние силы вызывают статические прогибы Тогда силы уравновешиваются упругими силами , и потому, согласно равенствам (2),

При исследовании упругих систем большую роль играет матрица обратная для матрицы

С помощью матрицы О можно разрешить систему соотношений (9) относительно прогибов и представить ее в виде

Величина равна прогибу в точке вызванному единичной внешней силой, приложенной в точке и называется коэффициентом влияния точки на точку Из симметричности матрицы С следует симметричность обратной матрицы , составленной из коэффициентов влияния

а из положительной определенности формы (3) следует положительная определенность квадратичной формы

поскольку квадратичная форма переходит в форму (12) при преобразовании переменных (10):

Рассмотрим линейную упругую систему — струну или стержень при обычных закреплениях концов. Можно показать, что в этом случае матрица коэффициентов влияния обладает следующими свойствами.

1°. Все миноры (не только главные!) любого порядка матрицы О неотрицательны:

3°. Определитель

Матрицы, обладающие свойствами 1°, 2° и 3, называются осцилляционными.

Заметим, что для всякой положительно определенной матрицы выполняются свойство 3°, а также неравенства Г для главных миноров и неравенства 2° для диагональных элементов; Однако неотрицательность неглавных миноров любого порядка и положительность элементов представляют собой специфические свойства матрицы коэффициентов влияния линейной упругой системы.

Из осцилляционности матрицы коэффициентов влияния вытекают следующие основные «осцилляционные» свойства упругих колебаний линейной системы.

1°. Все частоты различны:

2°. Все амплитуды в первом главном колебании (с частотой отличны от нуля и имеют одинаковые знаки.

3°. Среди амплитуд главном колебании (с частотой имеется ровно перемен знака рис. 51).

Рис. 51.

Рис. 52.

Исследование осцилляционных матриц и обоснование осцилляционных свойств упругих колебаний выходит за рамки настоящей книги.

Пример. Рассмотрим классическую задачу о колебании струны конечной длины с закрепленными концами в случае, когда вся масса струны сосредоточена в равноудаленных (между собой и от концов) точках, причем сосредоточенные массы равны между собой (и равны ) (рис. 52).

Удлинение участка (между точками с прогибами выразится (с точностью до малых четвертого порядка) следующим

образом:

Считая натяжение струны с постоянным, получаем выражение для потенциальной энергии:

Кинетическая энергия имеет простой вид:

Для нахождения главных частот и соответствующих амплитудных векторов изберем косвенный путь. Напишем уравнения (6) для амплитуд, используя выражения (14) и (15) для П и Т. Каждое из полученных уравнений (6) разделим почленно на с и введем сокращенное обозначение:

где вспомогательная величина. Тогда уравнения (6) для амплитуд примут следующий вид:

где

Алгебраическим уравнениям (6) можно удовлетворить, положив

При этом первое из «граничных» условий (18) удовлетворяется автоматически, а второе дает условие для определения искомых частот:

Отсюда , следовательно, согласно равенству (16),

Для нахождения амплитуд -го главного колебания полагаем в равенствах (19) :

Произвольное свободное колебание системы определяется формулой

Из формул (21) и (22) сразу видно, что полученные главные колебания обладают осцилляционными свойствами 1° — 3°.

Лагранж показал, как из найденных формул предельным переходом можно получить свободные колебания однородной струны (с закрепленными концами), масса которой уже не сконцентрирована в точках, а распределена равномерно вдоль струны, имеющей плотность

Полагая в рассмотренной задаче находим дискретный аналог для однородной струны с главными частотами

В пределе при получим для частот однородной закрепленной струны известные выражения:

Эти формулы выражают закон Мерсенна, согласно которому все частоты являются целыми кратными частоты, основного тона

, и каждая из частот прямо пропорциональна корню квадратному из натяжения и обратно пропорциональна длине и корню квадратному из плотности.

Представим гармоническое колебание однородной струны в виде

где — амплитудный прогиб в этом колебании.

Считая, что амплитудный прогиб может быть получен из величин (22) предельным переходом

при мы из формулы (22) найдем:

Тогда свободное колебание однородной струны, которое получается линейной суперпозицией главных колебаний (26), выразится формулой

где — произвольные постоянные.