§ 42. Влияние периодических внешних сил на колебания консервативной системы

Пусть помимо потенциальных сил — на систему действуют некоторые силы Перейдем к нормальным координатам с помощью формул

Силам в координатах соответствуют силы в координатах . Установим связь между исходя из равенства выражений для элементарной работы сил:

Замечая, что в силу формул (1)

и подставляя эти выражения для в равенство (2), получаем

Отсюда, приравнивая коэффициенты при независимых приращениях нормальных координат находим

Таким образом, если «старые» координаты выражаются через «новые» при помощи матрицы

то «новые» обобщенные силы выражаются через «старые» обобщенные силы при помощи транспонированной матрицы

Сопоставляя матричные формулы мы видим, что при переходе от координат к силам матрица преобразования заменяется матрицей

Это обстоятельство выражают словами: обобщенные силы преобразуются контравариантно по отношению к координатам 2).

После того как мы научились определять по заданным напишем уравнения Лагранжа в нормальных координатах, используя для Т и П выражения (4) из предыдущего параграфа:

Обозначим через произвольное частное решение уравнения (8). Тогда общее решение уравнения (8) будет

Пусть — периодическая сила и притом синусоидальная с частотой 2:

Тогда, как нетрудно видеть, в качестве можно взять

Если а следовательно, и — произвольные периодические силы с периодом

и частотой то можно разложить в ряд Фурье

Тогда, в силу линейности уравнений (8),

Если некоторое совпадает с и соответствующее то для координаты имеет место явление резонанса. Подставляя выражения (9) для в формулу

получаем:

где

— свободные колебания, а

— вынужденные колебания системы, и у — амплитудный вектор с координатами