§ 37. Устойчивость линейных систем

В предыдущем параграфе было показано, что исследование устойчивости любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1), сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы уравнений в отклонениях.

Пусть дифференциальные уравнения в отклонениях линейны и имеют постоянные коэффициенты

Будем искать частное решение этой системы в виде

Подставляя выражения (2) в уравнения (1) и сокращая на получаем соотношения, связывающие искомые величины и X:

или

где — символ Кронекера

Так как в искомом решении (2), по крайней мере, одна из постоянных должна быть отлична от нуля, то определитель системы однородных уравнений (4) должен равняться нулю:

Таким образом, для определения X мы получили алгебраическое уравнение степени относительно X.

Уравнение (5) называется характеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов

Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы А.

Взяв в качестве X какое-либо характеристическое число матрицы А, мы найдем соответствующие этому Числу постоянные И; из системы линейных уравнений (4).

Для дальнейшего нам удобно будет ввести матричную запись как для исходной системы (1), так и для Систем соотношений (2) и (3).

Введем в рассмотрение векторы-столбцы

Тогда вместо равенств (1) — (3) и (5) можно написать

Здесь единичная матрица.

Столбец удовлетворяющий вместе с числом X соотношению (3), называется собственным вектором матрицы А, соответствующим характеристическому числу X. Таким образом, в каждом решении системы имеющем вид — характеристическое число матрицы А, а — соответствующий собственный вектор.

Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение имеет различных корней . Каждому характеристическому числу соответствуют собственный вектор и частное решение системы (1) вида Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами

снова будет решением системы (1).

Для того чтобы показать, что формула (6) охватывает все решения системы (1), предварительно докажем, что

векторы-столбцы соответствующие различным характеристическим числам линейно независимы. Пусть

Умножим обе части равенства (7) слева на матрицу А. Тогда, используя равенства

находим:

Исключим из соотношений (7) и (8) постоянную

Это равенство опять умножим слева на и используем полученное равенство совместно с (9) для исключения . В конце концов получим:

откуда Так как в равенстве (7) все слагаемые равноправны, то

т. е. никакой зависимости вида (7) между собственными векторами не существует и эти векторы линейно независимы.

Положив в формуле найдем:

Произвольно задавшись начальным вектором мы из равенства (11), в силу линейной независимости векторов однозначно определим . Таким образом, формула (6) охватывает решения системы (1), удовлетворяющие любым начальным условиям т. е. охватывает все решения системы (1).

В курсах по теории дифференциальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые «вековые члены», содержащие вместо постоянного вектора полином относительно . В общем случае произвольное решение системы дифференциальных уравнений (1) определяется формулой

Из формул (6) и (12) непосредственно получаются важные следствия.

1°. Если все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части, т. е.

то и нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) асимптотически устойчиво.

Пусть теперь хотя бы для одного Тогда система (1) имеет ненулевое решение которое стремится к бесконечности при . В то же время начальное значение (при ) может сколь угодно малым, поскольку — произвольная постоянная. В этом случае решение неустойчиво. Таким образом, имеет место предложение:

2°. Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную вещественную часть то нулевое решение системы, дифференциальных уравнений (1) неустойчиво 3).

Пример. Положение равновесия линейного осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотически устойчивым. Действительно (см. пример 3 на стр. 191), дифференциальное уравнение движения

может быть записано в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, если положить

Характеристическое уравнение

имеет корни с отрицательной вещественной частью , что и обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия.