Главная > Лекции по аналитической механике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 37. Устойчивость линейных систем

В предыдущем параграфе было показано, что исследование устойчивости любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1), сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы уравнений в отклонениях.

Пусть дифференциальные уравнения в отклонениях линейны и имеют постоянные коэффициенты

Будем искать частное решение этой системы в виде

Подставляя выражения (2) в уравнения (1) и сокращая на получаем соотношения, связывающие искомые величины и X:

или

где — символ Кронекера

Так как в искомом решении (2), по крайней мере, одна из постоянных должна быть отлична от нуля, то определитель системы однородных уравнений (4) должен равняться нулю:

Таким образом, для определения X мы получили алгебраическое уравнение степени относительно X.

Уравнение (5) называется характеристическим или вековым уравнением для матрицы коэффициентов

Корни характеристического уравнения называются характеристическими числами матрицы А.

Взяв в качестве X какое-либо характеристическое число матрицы А, мы найдем соответствующие этому Числу постоянные И; из системы линейных уравнений (4).

Для дальнейшего нам удобно будет ввести матричную запись как для исходной системы (1), так и для Систем соотношений (2) и (3).

Введем в рассмотрение векторы-столбцы

Тогда вместо равенств (1) — (3) и (5) можно написать

Здесь единичная матрица.

Столбец удовлетворяющий вместе с числом X соотношению (3), называется собственным вектором матрицы А, соответствующим характеристическому числу X. Таким образом, в каждом решении системы имеющем вид характеристическое число матрицы А, а — соответствующий собственный вектор.

Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение имеет различных корней . Каждому характеристическому числу соответствуют собственный вектор и частное решение системы (1) вида Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами

снова будет решением системы (1).

Для того чтобы показать, что формула (6) охватывает все решения системы (1), предварительно докажем, что

векторы-столбцы соответствующие различным характеристическим числам линейно независимы. Пусть

Умножим обе части равенства (7) слева на матрицу А. Тогда, используя равенства

находим:

Исключим из соотношений (7) и (8) постоянную

Это равенство опять умножим слева на и используем полученное равенство совместно с (9) для исключения . В конце концов получим:

откуда Так как в равенстве (7) все слагаемые равноправны, то

т. е. никакой зависимости вида (7) между собственными векторами не существует и эти векторы линейно независимы.

Положив в формуле найдем:

Произвольно задавшись начальным вектором мы из равенства (11), в силу линейной независимости векторов однозначно определим . Таким образом, формула (6) охватывает решения системы (1), удовлетворяющие любым начальным условиям т. е. охватывает все решения системы (1).

В курсах по теории дифференциальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые «вековые члены», содержащие вместо постоянного вектора полином относительно . В общем случае произвольное решение системы дифференциальных уравнений (1) определяется формулой

Из формул (6) и (12) непосредственно получаются важные следствия.

1°. Если все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части, т. е.

то и нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1) асимптотически устойчиво.

Пусть теперь хотя бы для одного Тогда система (1) имеет ненулевое решение которое стремится к бесконечности при . В то же время начальное значение (при ) может сколь угодно малым, поскольку — произвольная постоянная. В этом случае решение неустойчиво. Таким образом, имеет место предложение:

2°. Если хотя бы одно характеристическое число матрицы А имеет положительную вещественную часть то нулевое решение системы, дифференциальных уравнений (1) неустойчиво 3).

Пример. Положение равновесия линейного осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости, будет асимптотически устойчивым. Действительно (см. пример 3 на стр. 191), дифференциальное уравнение движения

может быть записано в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, если положить

Характеристическое уравнение

имеет корни с отрицательной вещественной частью , что и обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия.

1
Оглавление
email@scask.ru